《数学分析》下册 第十九章含参量积分] 海南大学数学系 证由x 收敛从而一致收敛，ke"≤1，(k)∈0，+x,d及 对每一y∈0，d单调，据阿贝尔判别法即得. 例4证明：若化在业+四上连续，又/.地在a.)上一致收] fx,y炒 敛，但在x=b处发散，则 在a,b)上不一致收敛. 正反肤银装身九为在上-真度盒.则时于任验的s>0。 总存在M>c,当A,A'>M时对一切x∈[a,b)恒有， 由假设化，在ac回上连续，所以/地在a,)上是x的连续函 数.在上面不等式中令x→b,得到当A>A>M时， jr(b.ysc 「f, f,炒 而6是任给的，因此 在x=b处收敛，这与假设矛盾.所以 在[a,b)上不一致收敛. 二、含参量反常积分的性质 (一)入、连续性 定理19.9设心川在，小xk+网)上连续，若含参量反常积分 因.沙在k上一致收益。则因在k小上连续。 证明由定理9.8，对任一递增且趋于+0的数列，X4=),函数项级 5 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 5 证` 由  + 0 sin dx x x 收敛从而一致收敛， =  1 −xy −xy e e ，(x, y)0,+)0,d 及 对每一 y0,d 单调，据阿贝尔判别法即得． 例 4 证明：若 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，又 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上一致收 敛，但在 x = b 处发散，则 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上不一致收敛． 证 反证法．假若积分 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上一致收敛．则对于任给的   0， 总存在 M  c ，当 A, A  M 时对一切 xa,b) 恒有， ( )    A A f x, y dy ， 由假设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，所以 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上是 x 的连续函 数．在上面不等式中令 x →b ，得到当 A  A  M 时， ( )    A A f b, y dy ， 而  是任给的，因此 ( )  + c f x, y dy 在 x = b 处收敛，这与假设矛盾．所以 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上不一致收敛． 二、含参量反常积分的性质 （一）、连续性 定理 19．9 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若含参量反常积分 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一致收敛，则 I(x) 在 a,b 上连续． 证明 由定理 19．8，对任一递增且趋于 + 的数列  ( ) 1 A A c n = ，函数项级