《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 =2了/，M=2u,树) 数 在la小上连续.又由于f心川在a,小xk+)上 连续，故每个“，()都在a,上连续。由函数项级数的连续性定理，函数)在 [a,上连续， (二)、可微性 定理19.10设f代化，川和，川在a小x+)上连续，若含参量反常积分 o.在kE. 在a,上一致收敛，则)在a, 上可微，且以6场 正明对在一适增且随于4一的数到以4=，令)了炒 定理1.g66炒了k 由e 在[4，上一致收敛，及定理19.8， 可2x-w 在a,】上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即 可得间-豆因-空eMj4 甲品帅w (三)、可积性 定建11设功在小上连续，若内.妆在k小上 致收敛，则)在血，上可积，且 jjf,jjfk达 证明由定理19.9知（儿血，上连续从而可积，又由定理19.9的证明函 6《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 6 数 ( )  ( )  ( )   =  = + = = 1 1 1 , n n n A A I x f x y dy u x n n 在 a,b 上连续．又由于 f (x, y) 在 a,bc,+) 上 连续，故每个 u (x) n 都在 a,b 上连续．由函数项级数的连续性定理，函数 I(x) 在 a,b 上连续． （二）、可微性 定理 19．10 设 f (x, y) 和 f (x y) x , 在 a,bc,+) 上连续，若含参量反常积分 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上收敛， ( )  + c f x x, y dy 在 a,b 上一致收敛，则 I(x) 在 a,b 上可微，且 I(x)= ( )  + c f x x, y dy 证明 对任一递增且趋于 + 的数列  ( ) 1 A A c n = ，令 ( ) ( )  + = 1 , n n A A un x f x y dy ， 由定理 19．3 ( ) ( )  +  = 1 , n n A A un x f x x y dy ，由 ( )  + c f x x, y dy 在 a,b 上一致收敛，及定理 19．8， 可得 ( )  ( )    =  = +  = 1 1 1 , n A A x n n n n u x f x y dy 在 a,b 上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即 可得 I(x) = ( )  ( )    =  = +  = 1 1 1 , n A A x n n n n u x f x y dy = ( )  + c f x x, y dy ， 即 dx d ( )  + c f x, y dy = ( )  + c f x x, y dy . （三）、可积性 定理 19.11 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一 致收敛，则 I(x) 在 a,b 上可积，且  b a dx ( )  + c f x, y dy = ( )   + c b a dy f x, y dx . 证明 由定理 19．9 知 I(x) a,b 上连续从而可积，又由定理 19．9 的证明函