《数学分析》下册 第十九章含参量积分] 海南大学数学系 数项级数 -空了协玄交日在山小上一致收敛，由逐项求积定理 即有 j炒j62je恤2j了kh时h」 了jfk 定理19.12设f川在a,小x[c+网)上连续，若 jf (i) “关于y在任何闭区间k,d上一致收敛， 了f, 于x在 任何闭区间a,上一致收敛， (ⅱ)积分 jj/k了j 上与c (18) 中有一个收敛，则(18)中的另一个也收敛，且 jje协jj达 证明不妨设(18)中第一个积分收敛，由此得 了帅 也收敛.当d>c时， a-了a 上j-了aM-jaj可 根据条件（1)及定理19.11，可推得 ,可可r可购 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 7 数项级数 ( )  ( )  ( )   =  = + = = 1 1 1 , n n n A A I x f x y dy u x n n 在 a,b 上一致收敛，由逐项求积定理， 即有  b a dx ( )  + c f x, y dy = ( )  b a I x dx =  ( )   n=1 b a un x dx =  ( )    = + 1 1 , n b a A A n n dx f x y dy = ( )     = + b n a A A dy f x y dx n n , 1 1 = ( )   + c b a dy f x, y dx . 定理 19.12 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若 （ⅰ） ( )  + a f x, y dx 关于 y 在任何闭区间 c,d 上一致收敛， ( )  + c f x, y dy 于 x 在 任何闭区间 a,b 上一致收敛， （ⅱ）积分 ( )   + + a c dx f x, y dy 与 ( )   + + c a dy f x, y dx （18） 中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且 ( )   + + a c dx f x, y dy = ( )   + + c a dy f x, y dx . 证明 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得 dx f (x y)dy a c   + + , 也收敛．当 d  c 时， d I = ( ) ( )     + + + − d c a a c dy f x, y dx dx f x, y dy = ( ) ( ) ( )       + + + + − − d c a a a d d c dy f x, y dx dx f x, y dy dx f x, y dy ， 根据条件（ⅰ）及定理 19.11，可推得 d I = ( )   + + a d dx f x, y dy  ( ) ( )     + + + + A d A a d dx f x, y dy dx f x, y dy