印思琪等：基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 ·989· 与长度尺寸L得到不同的长宽比，定义该长宽比为较 当特征参数为2.5至2.75时，等效耦合刚度公式为 链的结构特征参数，用符号专表示，即=L儿m,分析 k=km+0.021FP-2.45F: (9) 随着结构特征参数专的变化，LET铰链等效耦合刚度 当特征参数为3.0至4.25时，等效耦合刚度公式为 经验公式中参数a和b的变化情况. km=k+0.028F2-2.1F (10) 改变结构特征参数，取八组数据分别为2.5、 1.3有限元仿真与验证 2.75、3.0、3.25、3.5、3.75、4和4.25，仿真分析得到不 为进一步验证等效耦合刚度经验公式及其参数a 同结构特征参数下的a和b值如表3所示. 和b的正确性，选取铍青铜材料作为LET铰链材料，改 表3不同下a和b值 变Lm及Lu,取分别为2.5、3.0、3.5和4.0，其余铰 Table 3 Values of a and b at different values 链尺寸如表1.通过有限元仿真得到具有不同特征参 52.52.753.03.253.53.754.04.25 数的LET铰链在不同拉力作用下的等效耦合刚度， a0.0210.0210.0280.0280.0280.0280.0280.028 同时根据表3得到不同特征参数下a和b的值，用 b -2.45-2.45-2.1-2.1-2.1-2.1-2.1-2.1 等效耦合刚度公式(9)与式(10)计算得到LET铰链理 论等效耦合刚度.有限元仿真得到的等效耦合刚度与 由表3中数据可得，在铰链其他尺寸不变情况下， 理论计算得到等效耦合刚度及其对比如表4所示. 表4LET较链等效耦合刚度的理论值、仿真值及其误差 Table 4 Finite element simulated and theoretically calculated equivalent coupling stiffness of LET flexure hinge and their relative error FIN 参量 5 10 15 20 25 30 35 刚度理论值/(N·mmrad-1) 577.2 565.9 555.8 546.5 538 530.6 524 2.5 刚度仿真值/(N.mmrad-l) 574.4 563.4 553.4 544.4 536.4 529.4 523.4 相对误差/% 0.49 0.44 0.43 0.38 0.30 0.23 0.11 刚度理论值/(N·mm"rad1) 592.3 582.9 574.4 566.6 560 554 549.1 3 刚度仿真值/(N.mm*rad-1) 589.5 581.1 574.1 568.5 564.3 561.5 560.1 相对误差/% 0.47 0.31 -0.05 0.34 0.77 1.35 2.00 刚度理论值/(N.mm*rad-l) 516.2 507.7 500.4 494.2 489.3 485.8 484.4 3.5 刚度仿真值/(N·mm"rad-) 512.1 503.7 496.7 491.1 486.9 484.1 482.7 相对误差/% 0.79 0.79 0.74 0.63 0.49 0.35 0.35 刚度理论值/(N·mm"rad~l) 509.1 501.9 495.6 490.7 487.4 485.9 487.1 刚度仿真值/(Nmm'radl) 503.7 495.3 488.3 482.7 478.5 475.7 474.3 相对误差/% 1.06 1.32 1.47 1.63 1.83 2.10 2.63 由表4数据绘制曲线，如图5所示.由表4与图5 功方程得到 可以得到在弯扭与拉压耦合作用下LET铰链发生扭 转时，通过有限元仿真得到的刚度与利用公式得到的 8W=F6z:+M60,+ ∑T6妆 (11) 刚度基本一致，最大误差为2.63%，发生在专=4.0时. 式中，W为虚功，F为作用在滑块上的力，M为作用在 这是因为在=4.0时铰链柔度很大，会产生较大的中 杆「2上的力矩，T为特征铰链i处的力矩 心漂移，但误差仍在允许范围内，验证了理论公式的正 T=-k: (12) 确性. 少1=01-01o, (13) 42=(0-0o）-(62-0m）, (14) 2平面折展滑块机构的分析 ψ3=02-00 (15) 2.1滑块机构公式推导 式中，日n为弹簧未变形时机构的位置角度，6。=0， 为进一步验证等效耦合刚度的适用性，将等效耦 020=T. 合刚度经验公式应用到机构分析中，为此设计平面折 将式(12)和(13)代入式(11)，可以得到总虚功， 展滑块机构如图6所示.该平面折展滑块机构的伪刚 其表示为 体模型如图7所示. 8W=Aδ9，+B80, (16) 利用虚功原理对图7所示伪刚体滑块机构建立虚 在式(16)中，A和B分别为印思琪等: 基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 与长度尺寸 LTL得到不同的长宽比，定义该长宽比为铰 链的结构特征参数，用符号 ξ 表示，即 ξ = LBL / LTL，分析 随着结构特征参数 ξ 的变化，LET 铰链等效耦合刚度 经验公式中参数 a 和 b 的变化情况． 改变结构 特 征 参 数 ξ，取 八 组 数 据 分 别 为 2. 5、 2. 75、3. 0、3. 25、3. 5、3. 75、4 和 4. 25，仿真分析得到不 同结构特征参数 ξ 下的 a 和 b 值如表 3 所示． 表 3 不同 ξ 下 a 和 b 值 Table 3 Values of a and b at different ξ values ξ 2. 5 2. 75 3. 0 3. 25 3. 5 3. 75 4. 0 4. 25 a 0. 021 0. 021 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 b － 2. 45 － 2. 45 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 由表 3 中数据可得，在铰链其他尺寸不变情况下， 当特征参数 ξ 为 2. 5 至 2. 75 时，等效耦合刚度公式为 kco = keq + 0. 021F2 － 2. 45F; ( 9) 当特征参数 ξ 为 3. 0 至 4. 25 时，等效耦合刚度公式为 kco = keq + 0. 028F2 － 2. 1F． ( 10) 1. 3 有限元仿真与验证 为进一步验证等效耦合刚度经验公式及其参数 a 和 b 的正确性，选取铍青铜材料作为 LET 铰链材料，改 变 LTL及 LBL，取 ξ 分别为 2. 5、3. 0、3. 5 和 4. 0，其余铰 链尺寸如表 1． 通过有限元仿真得到具有不同特征参 数 ξ 的 LET 铰链在不同拉力作用下的等效耦合刚度， 同时根据表 3 得到不同特征参数 ξ 下 a 和 b 的值，用 等效耦合刚度公式( 9) 与式( 10) 计算得到 LET 铰链理 论等效耦合刚度． 有限元仿真得到的等效耦合刚度与 理论计算得到等效耦合刚度及其对比如表 4 所示． 表 4 LET 铰链等效耦合刚度的理论值、仿真值及其误差 Table 4 Finite element simulated and theoretically calculated equivalent coupling stiffness of LET flexure hinge and their relative error ξ 参量 F /N 5 10 15 20 25 30 35 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 577. 2 565. 9 555. 8 546. 5 538 530. 6 524 2. 5 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 574. 4 563. 4 553. 4 544. 4 536. 4 529. 4 523. 4 相对误差/% 0. 49 0. 44 0. 43 0. 38 0. 30 0. 23 0. 11 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 592. 3 582. 9 574. 4 566. 6 560 554 549. 1 3 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 589. 5 581. 1 574. 1 568. 5 564. 3 561. 5 560. 1 相对误差/% 0. 47 0. 31 － 0. 05 0. 34 0. 77 1. 35 2. 00 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 516. 2 507. 7 500. 4 494. 2 489. 3 485. 8 484. 4 3. 5 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 512. 1 503. 7 496. 7 491. 1 486. 9 484. 1 482. 7 相对误差/% 0. 79 0. 79 0. 74 0. 63 0. 49 0. 35 0. 35 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 509. 1 501. 9 495. 6 490. 7 487. 4 485. 9 487. 1 4 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 503. 7 495. 3 488. 3 482. 7 478. 5 475. 7 474. 3 相对误差/% 1. 06 1. 32 1. 47 1. 63 1. 83 2. 10 2. 63 由表 4 数据绘制曲线，如图 5 所示． 由表 4 与图 5 可以得到在弯扭与拉压耦合作用下 LET 铰链发生扭 转时，通过有限元仿真得到的刚度与利用公式得到的 刚度基本一致，最大误差为 2. 63% ，发生在 ξ = 4. 0 时． 这是因为在 ξ = 4. 0 时铰链柔度很大，会产生较大的中 心漂移，但误差仍在允许范围内，验证了理论公式的正 确性． 2 平面折展滑块机构的分析 2. 1 滑块机构公式推导 为进一步验证等效耦合刚度的适用性，将等效耦 合刚度经验公式应用到机构分析中，为此设计平面折 展滑块机构如图 6 所示． 该平面折展滑块机构的伪刚 体模型如图 7 所示． 利用虚功原理对图 7 所示伪刚体滑块机构建立虚 功方程得到 δW = Fδzi + Mδθ1 + ∑ 3 1 Tiδ ψi ． ( 11) 式中，W 为虚功，F 为作用在滑块上的力，M 为作用在 杆 r2上的力矩，Ti为特征铰链 i 处的力矩． Ti = － kiψi， ( 12) ψ1 = θ1 － θ10， ( 13) ψ2 = ( θ1 － θ10 ) － ( θ2 － θ20 ) ， ( 14) ψ3 = θ2 － θ20. ( 15) 式中，θi0 为弹 簧 未 变 形 时 机 构 的 位 置 角 度，θ10 = 0， θ20 = π． 将式( 12) 和( 13) 代入式( 11) ，可以得到总虚功， 其表示为 δW = Aδθ1 + Bδθ2. ( 16) 在式( 16) 中，A 和 B 分别为 · 989 ·