2)当x<0时，≤x中k日-)，由夹通准则得mx=1. 所以mx白=l. 例23设x=10,x=6+x。,其中n=L2.试证数列{x}极限存在，并求此极 限。 分析用单调有界准则来证明，先证明单调性，再证明有界性 解用数学归纳法证明此数列的单调性。由x=10及x=√6+名=4可得x>x 假设neL,2,有xn>x1,则 Xn=6+X>6+Xn=X2. 由数学归纳法知，对一切n∈N都有x。>x1·即数列{x}单调递减.又x>0n=l2,) 显然成立，即x,}有下界，由单调有界准则知{x}存在极限，设x。=A,对 x1=-V6+x 两边取极限，有A=6+A,即-A-6=0.所以A=3或A=-2(舍去)，即mx,=3 例24设a>0,名=a,为=Va+石，x=a+x,其中n=l2,.,求1imx 分析需先用单调有界准则证明数列极限存在。单调性易证，但上界或下界却不易估 计。为此则可先假设皿=4，并由4=+解出4++0，此即为数列的一个上 2 界，但此上界形式较复杂，论证不太方便.可将其适当放大化简： 1++如<++a+461+石 2 2 解先用数学归纳法证明数列比}单调递增. 由a>0知，为=Va+后>后=x>0.假设x,>x>0成立，则 x=va+x>a+x1=x 所以数列{x}单调递增。 下证有界性. 下证1+石为数列x,}的上界.假设x,<1+a,则 x=a+x.<a+1+石<a+1+2W石=1+6， （2）当 x  0 时， 1 1 1 x x x [ ] ( 1) x x x     − ，由夹逼准则得 0 1 lim [ ] 1 x x x → −  = ． 所以 0 1 lim [ ] 1 x x → x  = ． 例 23 设 1 x = 10， 1 6 n n x x + = + ，其中 n =1,2, ．试证数列 { }n x 极限存在，并求此极 限． 分析 用单调有界准则来证明，先证明单调性，再证明有界性． 解 用数学归纳法证明此数列的单调性．由 1 x = 10 及 2 1 x x = + = 6 4 可得 1 2 x x  ． 假设 n{1,2, }，有 n  n+1 x x ，则 n+1 = 6+ n  6 + n+1 = n+2 x x x x ． 由数学归纳法知，对一切 nN 都有 n  n+1 x x ．即数列 { }n x 单调递减．又 0( 1,2, ) n x n  = 显然成立，即 { }n x 有下界，由单调有界准则知 { }n x 存在极限，设 xn A n = → lim ，对 n n x = + x +1 6 两边取极限，有 A A = + 6 ，即 2 A A − − = 6 0 ．所以 A = 3 或 A = −2 （舍去），即 lim = 3 → n n x ． 例 24 设 a  0 ， 1 x a = ， 2 x a a = + ， ， n n 1 x a x + = + ，其中 n =1,2, ，求 lim n n x → ． 分析 需先用单调有界准则证明数列极限存在．单调性易证，但上界或下界却不易估 计．为此则可先假设 lim n n x A → = ，并由 A a A = + 解出 1 1 4 2 a A + + = ，此即为数列的一个上 界，但此上界形式较复杂，论证不太方便．可将其适当放大化简： 1 1 4 1 1 4 4 1 2 2 a a a a + + + + +  = + ． 解 先用数学归纳法证明数列 { }n x 单调递增． 由 a  0 知， 2 1 x a a a x = +  =  0 ．假设 1 0 n n x x   − 成立，则 n n n n 1 1 x a x a x x + − = +  + = ， 所以数列 { }n x 单调递增． 下证有界性． 下证 1+ a 为数列 { }n x 的上界．假设 1 n x a  + ，则 1 1 1 2 1 n n x a x a a a a a + = +  + +  + + = +