故0<x,<1+√后.即数列{x,}有界。 根据单调有界准则知mx,存在.不妨设为4，则有4=后+石.解得A=++如或 2 A上+和（合去. 故m气++和 注1讨论数列化，}的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法. 注2如果数列{x,}的上界（或下界）不易直接看出时，则可以先假定数列x,}的极限 存在并求出极限值A,据此就可以找到数列x,}的上界（或下界），再进一步证明其确实是 数列x}的上界（或下界 例25求下列极限： 0=6-:a)g5:)=r6-问 分析含有指数函数或指数函数的差，一般考虑换底或提出公因子，然后结合等价替换 求解 解)6-=mm(e-=mn为na=na. a)g5r-▣e5+万-2明m▣nh6+7-2明 =6pn5-+(5- -exp(im-D 2 2 =exp(In5+In 7)=35. 9》r6-®点-六-小四旷 注本题用到了m6=1(a>0),产=e以及当x→0时n1+9-x,c-1-x 等结果 例26当x→0时，试将e-l,ln1+x),1-cos2，tanr-sinx按低阶到高阶的无 穷小顺序排列。 分析注意将考虑对象均与x进行比较，充分利用常用的等价替换关系式. 解当x→0时，由于 e-1~x, 且 故将其按低阶到高阶的无穷小顺序排列为ln+x),e2-1,anx-sinx,1-cosx2故 0 1 n   + x a ．即数列 { }n x 有界． 根据单调有界准则知 lim n n x → 存在．不妨设为 A ，则有 A a A = + ．解得 1 1 4 2 a A + + = 或 1 1 4 2 a A − + = （舍去）． 故 1 1 4 lim 2 n n a x → + + = ． 注 1 讨论数列 { }n x 的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法． 注 2 如果数列 { }n x 的上界（或下界）不易直接看出时，则可以先假定数列 { }n x 的极限 存在并求出极限值 A ，据此就可以找到数列 { }n x 的上界（或下界），再进一步证明其确实是 数列 { }n x 的上界（或下界）． 例 25 求下列极限： （1） lim ( 1) n n n a → − ； （2） 5 7 lim( ) 2 n n n n→ + ； （3） 1 1 2 1 lim (3 3 ) n n n n + → − ． 分析 含有指数函数或指数函数的差，一般考虑换底或提出公因子，然后结合等价替换 求解． 解 （1） lim ( 1) n n n a → − = 1 ln lim ( 1) a n n n e →  − = 1 lim ln n n a → n  = ln a ． （2） 5 7 lim( ) 2 n n n n→ + = 5 7 2 limexp[ ln( 1)] 2 n n n n → + −  + = 5 7 2 exp[lim ln( 1)] 2 n n n n → + −  + = ( 5 1) ( 7 1) exp[lim ] 2 n n n n → − + −  = 5 1 ( 7 1) exp(lim lim ) 2 2 n n n n n n → → − −  +  = 1 exp (ln 5 ln 7) 2 + = 35 ． （3） 1 1 2 1 lim (3 3 ) n n n n + → − = 1 1 2 1 ( 1) lim 3 [3 1] n n n n n + + →  − = ln3 2 ( 1) lim [ 1] n n n n e + → − = 2 ln 3 lim ( 1) n n → n n  + = ln 3 ． 注 本题用到了 lim 1 n n a → = （ a  0 ）， 1 1 ln n n a a e = 以及当 x → 0 时 ln(1 ) + x x ， 1 x e x − 等结果． 例 26 当 x → 0 时，试将 2 1 x e − ，ln(1 ) + x ， 2 1 cos − x ， tan sin x x − 按低阶到高阶的无 穷小顺序排列． 分析 注意将考虑对象均与 x 进行比较，充分利用常用的等价替换关系式． 解 当 x → 0 时，由于 2 2 1 x e x − ， ln(1 ) + x x ， 2 2 4 2 ( ) 1 cos 2 2 x x − = x ， 且 tan sin x x − = 1 sin ( 1) cos x x − = 2 sin (1 cos ) cos 2 x x x x x −  = 3 2 x ， 故将其按低阶到高阶的无穷小顺序排列为 ln(1 ) + x ， 2 1 x e − ， tan sin x x − ， 2 1 cos − x ．