第八章函数 81r函数的定义 定义r函数的最常用定义是 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 积分在右半平面代表一个解析函数 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 t- dt 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t2-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理42可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 所以对于任意正整数N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Rez<xo,(见图8.1) NI t 图8.1 这样,只要选择足够大的N(使得N>o),积分/t-N-dt就收敛,故/e-t-1d在z 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 c= Re￾✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Γ ✡ ☛ §8.1 Γ ☞✌✍✎✏ ✑✒ Γ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✜✢✣✤✥✦✧★✩ Euler ✣✤✪✫ ✬✕ ✣✤✭✮ t ✯✰✱✲✦ arg t = 0 ✳ F ✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂✳ ❃✦✜✛❄✢❅✗ ✣✤✪❆❇✛❄✢❈✣✤ (❉ t = 0 ❊) ✪❋ ✛❄✢●❍✣✤✪■❏❑▲❆▼ ◆❖P✤◗✤❘❙❚✳ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❯❱✧★P✤✳ ❲❳✪❨ t ≥ 1 ❩ ✪❬✣✓✔ e −t t z−1 ✛ t ✕❭❪✓✔✪❫❴❵✦ z ✕✓✔✪ ❉ ❛❜❝✲❞✳❡✙✱ 4.2 ❢❣✪❑❤ ✐❆❥❦❄ ✢ ✲❞✓✔✪❧♠♥❤ ✐✣✤❄♦♣q✳❃✦ e t = X∞ n=0 t n n! , ■❏rst✉✈✇✔ N ✪ e t > t N N! , e −t < N! tN . ①rs z ❜❝②t ❄③④⑤ (⑥④⑤ ⑦✕t✉❄⑧✪⑨⑩ Re z <x0 ✪ (❶❷ 8.1)  e −t t z−1   < N! · t x0−N−1 . ❸ 8.1 ✜❹✪♠❑❺❻❼❽❾✕ N ( ❿➀ N > x0) ✪✣✤ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ❧ ♣q✪① Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❉ z ❜ ❝ ✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉❛❜❝✲❞✳ ❑❤ ✐✧ ❄ P✤✕ ✣✤❉➁➂❜❝✲❞✪➃➄➅✛ ❤ ✐❆ ✕❄♦♣q➆✳❃✦  e −t t z−1   = e−t t x−1 , x = Re z