因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 e-t2-1≤t-1 而/-d收敛,故积分/e--dt在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 ·上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 T(2)=/e-tti-ldt, Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,la<π/2.取围道C如图8.2 应用留数定理讨论复变积分pe-+2-1d,就能证得这个结论 图8.2 ·进一步修改:积分路径L可以是t平面上从t=0出发的任意分段光滑曲线,只要最后以 Ret→+∞的方式趋于无穷远点即可 ★解析延拓 上面介绍的函数的定义只适用于Rez>0.注意积分的笫二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 dt (-) 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓§8.1 Γ ✄☎➇➈➉ ✆ 2 ✝ ❃ ⑥ ✪rs z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄④⑤✪⑩ Re z = x ≥ δ > 0 ✪  e −t t z−1   ≤ t δ−1 , ➊ Z 1 0 t δ−1dt ♣q✪①✣✤ Z 1 0 e −t t z−1dt ❉ z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉➁ ➂ ❜❝✲❞✳ ▲❖P✤➋➌◗✪❧➀➍ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❉ z ✕➁➂❜❝✲❞✳ F ✴✵➎➏➐➑➒ • ②❝✕ ✣✤✙✚ ✬✪✣✤➓➔❫→♥❑➣✙❉↔↕②✪➊ ❢➙➛✦ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✣✤➓➔ L ✛ t ❜❝②➜ t = 0 ➝➞✕➂➟➠✪ arg t = α ✦ ✗✔✪ |α| < π/2 ✳ ➡ ➢➤ C ➥❷ 8.2 ✪ ✯✘ ➦✔✙✱❙❚➧✭✣✤ I C e −t t z−1 dt, ❧➨❤ ➀ ✜✢➩❚✳ ❸ 8.2 • ➫❄➭➙➛➯✣✤➓➔ L ❢ ❏ ✛ t ❜❝②➜ t = 0 ➝➞✕t✉✤➲➳➵ ➸ ➠ ✪♠❑ ✖➺❏ Re t → +∞ ✕➻➼➽s●❍➾⑧➚❢✳ F ✿❀➪➶ ➹ ➘➴➷➬ Γ ➮➱➬✃❐ ❒❮❰Ï Re z > 0 ✳ ÐÑÒÓ➬ ÔÕÖÓ×ØÙÚ ➘ÛÜ➬✪ ÝÞ✪ß àáâã z ➬ÙÚ ➘✪❒ä❰❮ å➬æçèÒÓ ÔéÖÓáâãÙÚ ➘êë✳ ìíîï✕➻ð✛ñò✔✓✔❵ Taylor óô Z 1 0 e −t t z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✜✢➩õ✛❉ Re z > 0 ✕ö÷ø➀➍✕✳ùú➼û❊❉➁➂❜❝✲❞✪➊ ➁❊✕ü✔❲❳❉ ❛❜ ❝② (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❄♦♣q✪❃➊ ❉ ❛❜❝✲❞ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✳ ✜ý ✐✪ ú➼➁❊✕ü ✔ ❦þ➼ ❧ ✛û❊✣✤❦þ➼❉❛❜❝②✕✲❞ÿ￾✳