我们没有法子研究复杂的图形.我们只能研究最简单的如直线,平面这些东 西.切平面跟曲面有最密切的关系.那么,单说密切的关系不够,一定要解析 地能够解决比较更深刻的一些问题.有一个切平面,在这个切平面上是2维 的,于是每一点就有许多矢量,也就是切矢量.切矢量就是跟这个曲面相切 的矢量.因为这个曲面是在 Euclid空间里头,所以我可以讲这个矢量的长度 为简单起见,我限于讨论长度等于1的矢量,即单位矢量,所以有一圈单位 切矢量.跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量,我们假定它是取成单位 的,那么这个矢量我们叫做单位法矢量.要注意的是这里就有一个几何现象 发生了,因为假使这个曲面弄平了的话,单位法矢量可以向上走,也可以向 下走换句话说,这个曲面除了是一个2维的流形之外,它还有一个定向:在 曲面上你是顺方向转,还是跟逆方向转,这个转动是很不一样的.所以,你要 定怎么样子转动是顺方向,这就是要给曲面一个定向.定向有了之后,它的 单位法矢量就定了.单位法矢量在这个方向可以向上走,也可以向下走定 了一个之后,这个曲面也就定向了.这是很重要的一个观念.虽然相差的只 是一个符号,但是这是一个很重要的观念. Mobius是德国伟大的几何学家 因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向,这当然是很有意思的一件事 情.你们大家都知道的这个图形:就是拿一张纸,你把它转一圈连起来的话, 就得到所谓的 Mobius曲面,它没法子定向.这是几何上很有意思的一件事 情.那么我们假定曲面已经确定了一个方向.有了这样定向的曲面之后,几 何情况是怎么样的呢?由单位法矢量e3,其中e3是在3维空间,你发现有一件 事实,就是说你单独讨论曲面不够,你一定要利用曲面上的单位切矢量,我 叫这个单位切矢量为e1.这样我就有了一个标架,它有了第一个单位矢量和 第三个单位矢量.如果空间是定向的,第二个单位矢量e2=e3×e1也就完全 确定了.所以我就有个单位标架.单位标架就是三个单位矢量按照一定的 次序,是互相垂直的.为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要?就是 因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质,而这运动群 就是标架所成的空间.因为是有一个并且只有一个运动把一个标架变为其 它的标架至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对应,不但是 一对应,而且对应保持拓扑和一切的性质,所以运动群很要紧.因为空讲的➲➣➊❿✛✝Ï➘❹ì④❈♦. ➲➣➄✕Ï➘✦❀❭④➌❺✧, ➨➪❨❏➚ Ü. ★➨➪❐▼➪❿✦➲★④✞ø. ￾➃, ❭⑨➲★④✞ø❳ê, ✘➼✞❽Û ➃✕ê❽û✞✈❮ý✴④✘❏➥☛. ❿✘➬★➨➪, ó❨➬★➨➪Þ✹2 ➅ ④, ➉✹➎✘➎Ò❿➂õ✪Þ, ✎Ò✹★✪Þ. ★✪ÞÒ✹❐❨➬▼➪★★ ④✪Þ. ❖➃❨➬▼➪✹óEuclid ✽✲➦❃, ➘✶➲✱✶❨❨➬✪Þ④➓Ý. ➃❀❭å❉, ➲✦➉ÿ❳➓Ý⑧➉1 ④✪Þ, ý❭➔✪Þ, ➘✶❿✘❲❭➔ ★✪Þ. ❐❨❏❭➔★✪Þ✒❺④❿☞✐✘➬✪Þ, ➲➣✧➼➬✹❘➘❭➔ ④, ￾➃❨➬✪Þ➲➣✇✮❭➔✛✪Þ. ✞Õ❄④✹❨➦Ò❿✘➬✁❬✙✻ ✕✠ê, ❖➃✧✫❨➬▼➪❆➨ê④➏, ❭➔✛✪Þ✱✶✺Þ✒, ✎✱✶✺ ✆✒. ➛é➏⑨, ❨➬▼➪øê✹✘➬2➅④✖♦❷✐, ➬↕❿✘➬➼✺: ó ▼➪Þ✜✹⑦✵✺Ý, ↕✹❐✤✵✺Ý, ❨➬Ý➘✹✐❳✘ø④. ➘✶, ✜✞ ➼✍➃ø✝Ý➘✹⑦✵✺, ❨Ò✹✞➱▼➪✘➬➼✺. ➼✺❿ê❷⑨, ➬④ ❭➔✛✪ÞÒ➼ê. ❭➔✛✪Þó❨➬✵✺✱✶✺Þ✒, ✎✱✶✺✆✒. ➼ ê✘➬❷⑨, ❨➬▼➪✎Ò➼✺ê. ❨✹✐➢✞④✘➬✡✬. ➥❧★❿④➄ ✹✘➬♥❘, ❜✹❨✹✘➬✐➢✞④✡✬. Mobius✹②✮➉▲④✁❬➛✛. ❖➃✜✞➼✺, Mobius✕✙❿❏▼➪❳✕➼✺, ❨❤❧✹✐❿❄❻④✘●✴ ❁. ✜➣▲✛Ñ⑧✇④❨➬❈♦: Ò✹ü✘❁➆, ✜➨➬Ý✘❲❐å✉④➏, Ò③t➘➣④Mobius ▼➪, ➬➊✛✝➼✺. ❨✹✁❬Þ✐❿❄❻④✘●✴ ❁. ￾➃➲➣✧➼▼➪✳➨❤➼ê✘➬✵✺. ❿ê❨ø➼✺④▼➪❷⑨, ✁ ❬❁❨✹✍➃ø④✑?❸❭➔✛✪Þe3, Ù➙e3 ✹ó3➅✽✲, ✜✕✙❿✘● ✴✧, Ò✹⑨✜❭Õÿ❳▼➪❳ê, ✜✘➼✞➻⑦▼➪Þ④❭➔★✪Þ, ➲ ✇❨➬❭➔★✪Þ➃e1. ❨ø➲Ò❿ê✘➬✮✪, ➬❿ê➅✘➬❭➔✪Þ❩ ➅➤➬❭➔✪Þ. ➌✯✽✲✹➼✺④, ➅✓➬❭➔✪Þe2 = e3 × e1✎Òq❭ ❤➼ê. ➘✶➲Ò❿➬❭➔✮✪. ❭➔✮✪Ò✹➤➬❭➔✪Þ➉▲✘➼④ ✬➇, ✹➄★✒❺④. ➃✤➃❭➔✮✪ó✁❬④Ï➘❷➙✹❨➃➢✞? Ò✹ ❖➃✁❬✹✃âä➘❦Ï➘✽✲óä➘❷✆❳★④✁❬✉➓, ✌❨ä➘❦ Ò✹✮✪➘➘④✽✲. ❖➃✹❿✘➬❄✪➄❿✘➬ä➘➨✘➬✮✪★➃Ù ➬④✮✪. ➊➉❭✍④❭➔✮✪❐❨➬ä➘❦④➹↔➘✘✘é❛, ❳❜✹✘ ✘é❛, ✌✪é❛âÑ❴➚❩✘★④✉➓, ➘✶ä➘❦✐✞➏. ❖➃✽❨④ 3