分几何缺少一点了解,他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好,包括了 很多材料.在1941相,我在西南联大教书,教《微分几何》,也讲到曲面论 讲到曲面论时,当然就看 Darboux的书,就想到 Darboux的书里头,一个主要 的方法是用活动标架,也就是采用活动标架法.他用得非常彻底,做得非常 之漂亮. Darbon稍微不用的一点是他不用外微分,我想,我的课是讲微积 分,而微积分你要讲到多元,多变数的时候,这个外微分不能避免.这是因为 在多变数的时候,最有效的工具是外微分.外微分可以加,减,可以乘,可以 微分,所以有很多代数的运算可以用到外微分,同时,一个外微分也是一个 式子,这个式子给予很多数学问题,不管是它的几何,还是它的分析,都给你 很多材料,因此是非常有用的. Darboux的缺点是他没有用外微分.他用活 动标架法,但是没有外微分.因此,有很多工 作,不用外微分,怎么办呢?他也是还要用微积分的,不用外微分,他 用偏微分.用偏微分比外微分差得多了.因为你的曲面是2维的空间,所以 对于两个变数,即曲面的参数u,U,你要对u求偏微分,对u求偏微分,这里头 有很多偏微分,而用外微分就简单多了.但是他不采用外微分,这是很奇 怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一人.一个是 Darboux,一个 是 Frobenius,他们两个人最那发现这个东西的,但是等到应用到曲面研究的 时候,不知道为什么,他没有用.也底是由于传统的关系,他写了外微分之 后,谁都不懂了,所以他不用外微分了.我刚才讲了,在1941相,我刚巧在昆 明教这个课,我很自然地想,为什么不用外微分呢?所以我就用外微分想法 子做 Darboux所做的工作,或者说至少做曲面论和一些几何的讨论.我采用 外微分,因此我得到一个很好的了解 2曲面论基本内容的回顾 什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话,曲面是一个2维的流形,它在 普通空间里头是2维的,所以它上头任意一个点是两个变数,通常就叫做参 数.但是现在呢,我们就叫它局全坐标u,v.因此它的坐标是2个变数的函数 所以是这个条件使它在每一点有一个切平面这个切平面当然很要紧,因为 2■✁❬❜è✘➎ê❽, ➷➣❛➈✗❨➬❱. Darboux④❱❨③✿➒P, Ý✐ê ✐õ❛î. ó1941 ★, ➲óÜ✟➱▲s❱, s✕❻■✁❬✖, ✎❨t▼➪❳. ❨t▼➪❳✣, ❤❧Ò✗Darboux④❱, Ò✳tDarboux④❱➦❃, ✘➬❒✞ ④✵✛✹⑦Ù➘✮✪, ✎Ò✹❢⑦Ù➘✮✪✛. ➷⑦③✿➒➫➂, ✮③✿➒ ❷↕à. Darbouxã❻❳⑦④✘➎✹➷❳⑦✐❻■, ➲✳, ➲④✶✹❨❻è ■, ✌❻è■✜✞❨tõ➹, õ★❥④✣⑧, ❨➬✐❻■❳✕✛➼. ❨✹❖➃ óõ★❥④✣⑧, ✦❿❍④Óä✹✐❻■. ✐❻■✱✶✜, ❃, ✱✶➷, ✱✶ ❻■, ➘✶❿✐õ❙❥④ä➤✱✶⑦t✐❻■, ✸✣, ✘➬✐❻■✎✹✘➬ ✯✝, ❨➬✯✝➱↔✐õ❥➛➥☛, ❳☛✹➬④✁❬, ↕✹➬④■Û, Ñ➱✜ ✐õ❛î, ❖✩✹✿➒❿⑦④. Darboux④❜➎✹➷➊❿⑦✐❻■. ➷⑦Ù ➘✮✪✛, ❜✹➊❿✐❻■. ❖✩, ❿✐õÓ ✯, ❳⑦✐❻■, ✍➃❮✑? ➷✎✹↕✞⑦❻è■④, ❳⑦✐❻■, ➷ ⑦➔❻■. ⑦➔❻■✞✐❻■❿③õê. ❖➃✜④▼➪✹2➅④✽✲, ➘✶ é➉Ü➬★❥, ý▼➪④❦❥u, v, ✜✞éu❋➔❻■, év❋➔❻■, ❨➦❃ ❿✐õ➔❻■, ✌⑦✐❻■Ò❀❭õê. ❜✹➷❳❢⑦✐❻■, ❨✹✐Û ✆④✴❁. Darboux✹✕✙✘✬✐❻■✯④➅✘⑤. ✘➬✹Darboux, ✘➬ ✹Frobenius, ➷➣Ü➬⑤✦￾✕✙❨➬➚Ü④, ❜✹⑧t❛⑦t▼➪Ï➘④ ✣⑧, ❳⑧✇➃✤➃, ➷➊❿⑦. ✎➂✹❸➉☎✿④✞ø, ➷❯ê✐❻■❷ ⑨, ①Ñ❳➹ê, ➘✶➷❳⑦✐❻■ê. ➲➛❜❨ê, ó1941★, ➲➛✜ó❢ Òs❨➬✶, ➲✐✞❧➃✳, ➃✤➃❳⑦✐❻■✑?➘✶➲Ò⑦✐❻■✳✛ ✝✮Darboux➘✮④Ó✯, Ý❱⑨➊è✮▼➪❳❩✘❏✁❬④ÿ❳. ➲❢⑦ ✐❻■, ❖✩➲③t✘➬✐P④ê❽. 2 ▼➪❳äý✓➂④➹ú ✤➃✇✐❻■✑?Ò✹✜✕✙✞Ï➘▼➪④➏, ▼➪✹✘➬2➅④✖♦, ➬ó ✃✴✽✲➦❃✹2➅④, ➘✶➬Þ❃⑧❄✘➬➎✹Ü➬★❥, ✴➒Ò✇✮❦ ❥. ❜✹✙ó✑, ➲➣Ò✇➬Û❭✰✮u, v. ❖✩➬④✰✮✹2➬★❥④❁❥, ➘✶✹❨➬✣●✫➬ó➎✘➎❿✘➬★➨➪. ❨➬★➨➪❤❧✐✞➏, ❖➃ 2