第五讲曲面论(二) Gauss- Bonnet公式 2001年11月23日 1曲面论发展的简介 很高兴又与大家见面了.我在医院里住了几天,你们可以看出来我还没 有完全好,不过我觉得我还是跟大家讲讲这些东西.那么,我今天要讲的 是 Gauss-Bonnet公式.这个公式有相当的意义,也有相当的历史,尤其跟我 个人的工作也有关系,所以我要提一提我跟这个问题是怎么样的关系.我 们上次讲到曲面论,曲面论是微分几何里头最重要的一部分.因为许多微 分几何的现象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了.同时,因为它 是在3维空间里头,这个几何的情况是可以看见的,不是完全用代数来表示 曲面论有很长的历史,最早的当然是 Monge. Monge是法国的大数学家,他 老先生对政治有些活动,所以他除了做大学教授之外,他对法国的教育有 很多影响.他是拿破仑底下的一个雇员,帮助拿破仑做事,他是拿破仑政府 的海军部长,甚至还跟着拿破仑去埃及打仗.因为他的影响,法国的高工学 校( Ploytechnique)就建立起来了.很长一段时期,法国最好的学生都在高工 学校.我想高工学校也许象现在的清华,有许多好的学生,例如说,法国一个 最大的数学家 Poincare就是 Ploytechniquel的学生. Monge是第一个写关于 微分几何书的人,他的书就叫做《微积分在几何上的应用》,这也是我要讲 的题目.因此,法国的教育在微分几何有一个相当的传统除了 Monge本人 之外,由于他在高工的影响,他有很多学生,都是在微分几何有相当贡献的 人.然后在微分几何逐渐发展之中,比较晚一些的是法国另外一个大数学 家 Darboux. Darbo ux是法国科学院的秘书长,所以在他的时期,他是在科 技界有很多影响的一个人.他不仅是秘书长,也是巴黎大学理学院的院长 他的最大的工作是四本《曲面论》.我想,这四大本是数学文献里头永远的 个文献.现在可惜由于它是法文的,很多人不看这个书,我想这些人对微➅✃❨ ▼➪❳(✓) ✠Gauss-BonnetÚ✯ 2001★11Û23❺ 1 ▼➪❳✕✵④❀➄ ✐➦❧➅➛▲✛❉➪ê. ➲ó✚Ó➦Ôê✁✕, ✜➣✱✶✗ñ✉➲↕➊ ❿q❭P, ❳✱➲ú③➲↕✹❐▲✛❨❨❨❏➚Ü. ￾➃, ➲➌✕✞❨④ ✹Gauss-BonnetÚ✯. ❨➬Ú✯❿★❤④❄❇, ✎❿★❤④➺✩, ❷Ù❐➲ ➬⑤④Ó✯✎❿✞ø, ➘✶➲✞✡✘✡➲❐❨➬➥☛✹✍➃ø④✞ø. ➲ ➣Þ✬❨t▼➪❳, ▼➪❳✹❻■✁❬➦❃✦➢✞④✘❭■. ❖➃➂õ❻ ■✁❬④✙✻óó3➅✽✲➦④2➅▼➪④❁❨✳➨➋✠ê. ✸✣, ❖➃➬ ✹ó3➅✽✲➦❃, ❨➬✁❬④❁❨✹✱✶✗❉④, ❳✹q❭⑦❙❥✉✱✰. ▼➪❳❿✐➓④➺✩, ✦￾④❤❧✹Monge. Monge ✹✛✮④▲❥➛✛, ➷ ➄☛✠é✉↔❿❏Ù➘, ➘✶➷øê✮▲➛s●❷✐, ➷é✛✮④s➳❿ ✐õ❦✴. ➷✹ü➺❯➂✆④✘➬ü✃, ÐÏü➺❯✮✴, ➷✹ü➺❯✉⑧ ④✵✁❭➓, ☎➊↕❐øü➺❯❱❸ù❑❈. ❖➃➷④❦✴, ✛✮④➦Ó➛ ❉(Ploytechnique)Ò❖➪å✉ê. ✐➓✘ã✣Ï, ✛✮✦P④➛✠Ñó➦Ó ➛❉. ➲✳➦Ó➛❉✎➂✻✙ó④✽➉, ❿➂õP④➛✠, ➽➌⑨, ✛✮✘➬ ✦▲④❥➛✛Poincare Ò✹Ploytechnique④➛✠. Monge✹➅✘➬❯✞➉ ❻■✁❬❱④⑤, ➷④❱Ò✇✮✕❻è■ó✁❬Þ④❛⑦✖, ❨✎✹➲✞❨ ④☛ø. ❖✩, ✛✮④s➳ó❻■✁❬❿✘➬★❤④☎✿. øêMongeý⑤ ❷✐, ❸➉➷ó➦Ó④❦✴, ➷❿✐õ➛✠, Ñ✹ó❻■✁❬❿★❤à✚④ ⑤. ❧⑨ó❻■✁❬➴▲✕✵❷➙, ✞✈t✘❏④✹✛✮☞✐✘➬▲❥➛ ✛Darboux. Darbo ux✹✛✮✮➛Ó④➩❱➓, ➘✶ó➷④✣Ï, ➷✹ó✮ ✆➂❿✐õ❦✴④✘➬⑤. ➷❳➑✹➩❱➓, ✎✹➤➞▲➛➤➛Ó④Ó➓. ➷④✦▲④Ó✯✹➃ý✕▼➪❳✖. ➲✳, ❨➃▲ý✹❥➛➞✚➦❃④Ï④ ✘➬➞✚. ✙ó✱ê❸➉➬✹✛➞④, ✐õ⑤❳✗❨➬❱, ➲✳❨❏⑤é❻ 1