g(x)-g(x1) 注意到式(5)以及g(x0)=0,知对任意x1≤x≤x0, 0≤g1(x1)≤g(x)≤g(x0)≤g(x0)=0 于是知g在(x1,xl]上可导且g(O)=0,x∈(x1,2x0]故在(x,x0]上,g(x)≡8(x0)>0 由连续性得g(x1)=g(x0)>0,与x1的取法相矛盾。从而x∈[x1,x2],g(x)≤0 利用定理5,可以很容易地判断一个分段函数是否为凸函数。 0≤x≤1, 例2考查函数∫(x)=)(x++50性 解易知函数∫在[-10]以及[0]上都是凸的。由于 (x+1)2+ f.10)=1mn =f(0, 故由定理5知函数∫在[一11]上是凸的(如图2所示) e 0≤x<1 例3考查函数g(x)= 的凸性 (x+1),-1≤x<0 解易知函数g(x)在[1,0]以及[0,1上都是凸的。但由于 g-0)=m(x+1)2-1 x0x=8(0) =2>1=lim x 由定理5,可知函数g(x)在区间[-1,1上不是凸的(如图3所示) f(X 1111 0 ( ) ( ) ( ) lim 1 1 1 1  − −  = + → + x x g x g x g x x x . 注意到式（5）以及 g (x0 ) = 0 ，知对任意 1 0 x  x  x ， 0  g+  (x1 )  g−  (x)  g+  (x0 )  g (x0 ) = 0. 于是知 g 在 ( , ] 1 0 x x 上可导且 g (0) = 0， ( , ] 1 0 x  x x .故在 ( , ] 1 0 x x 上， g(x)  g(x0 )  0 . 由连续性得 g(x1 ) = g(x0 )  0，与 1 x 的取法相矛盾。从而 [ , ] 1 2 x x x ， g(x)  0 . 利用定理5，可以很容易地判断一个分段函数是否为凸函数。 例2 考查函数     + + −     = , 1 0 3 2 ( 1) 3 1 , 0 1, ( ) 2 x x e x f x x 的凸性。 解 易知函数 f 在 [−1,0] 以及 [0,1] 上都是凸的。由于 2 0 0 1 2 ( 1) 1 3 3 2 1 (0) lim 1 lim (0) 3 x x x x e f f x x - + - + ® ® + + - - ⅱ = = < = = ， 故由定理5知函数 f 在 上是凸的（如图2所示）。 例3 考查函数    + −     = ( 1) , 1 0 , 0 1 ( ) 2 x x e x g x x 的凸性。 解 易知函数 g(x) 在 [−1,0] 以及 [0,1] 上都是凸的。但由于 (0) 1 2 1 lim ( 1) 1 (0) lim 0 2 0 + → → − =  − =  = + −  = − + g x e x x g x x x ， 由定理5，可知函数 g(x) 在区间 [−1,1] 上不是凸的（如图3所示）。 图2 图3