∫在x0点可导,且有f(x0)=0 注容易知道,对于极小值点也有与引理1对偶的结论 定理5函数∫是闭区间[a,b上的凸函数的充要条件是∫在开区间(a,b)内任一点的 左、右导数都存在,以及在端点a,b处对应的单侧极限存在,且满足 (i)对任意a<x<y<b,成立厂(x)≤∫(x)≤∫(y)≤f(y) (i)f(a')≤f(a),f(b-)≤f(b) 证必要性。由定理知f在(a,b)内任一点的左右导数都存在,再由定理3可知∫在端 点a和b处相应的单侧极限都存在,并且f(a)≤∫(a),∫(b-)≤∫(b)。即得(i)成立 对任意a<x<y<b,任取a<x1<x<x2<y<y<y2<b,由式(2),得 f(x)-f(x1)<f(x2)-f(x)<f0)-f()<f(y2)-f(0y) y=y J2-y 分别令x1→x,x2→x,y1→y,y2>y,得厂(x)≤f(x)≤∫(y)≤∫(0),即(i) 充分性。首先对任意x∈(a,b),函数在x点的左右导数都存在,故函数在(a,b)内连续 其次,因为在端点的单侧极限存在以及条件(i),所以不妨假设f(a)=f(a) ∫(b)=f(b).对任意a≤x1<x2≤b,记 g(x)=f(x) f(x2)-f(x1) (x-x1)+f(x1), x2-x1 显然g是连续函数,且对x1≤x≤y≤x2,有 g2(x)≤g;(x)≤g()≤g(y) 由凸函数定义的式(3)形式知,只需证对x1≤x≤x2,g(x)≤0 用反证法:若不然,则存在x0∈(x12x2)使得g(x0)=maxg(x)>0.由引理1,有 g'(x0)=0.令x=5s甲p{y∈[x,x)g()=0},由g的连续性,这样的x是存在且 g(x1)=0.显然,对x1<x<x0,有g(x)>0.于是10 即 f 在 0 x 点可导，且有 f (x0 ) = 0 . 注 容易知道，对于极小值点也有与引理 1 对偶的结论。 定理 5 函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数的充要条件是 f 在开区间 (a,b) 内任一点的 左、右导数都存在，以及在端点 a,b 处对应的单侧极限存在，且满足 (i）对任意 a  x  y  b ，成立 f (x) f (x) f (y) f (y) − + − +        ； (ii） f (a )  f (a) + ， f (b )  f (b) − . 证 必要性。由定理1知 f 在 (a,b) 内任一点的左右导数都存在，再由定理3可知 f 在端 点 a 和 b 处相应的单侧极限都存在，并且 f (a )  f (a) + ， f (b )  f (b) − 。即得(ii)成立。 对任意 a  x  y  b ，任取 a  x1  x  x2  y1  y  y2  b ，由式（2），得 x x f x f x x x f x f x − −  − − 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y f y f y y y f y f y − −  − −  2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ， 分别令 → − → + → − → + x x x x y y y y 1 2 1 2 , , , ，得 f (x) f (x) f (y) f (y) − + − +        ，即(i) 成立。 充分性。首先对任意 x  (a,b) ，函数在 x 点的左右导数都存在，故函数在 (a,b) 内连续； 其次，因为在端点的单侧极限存在以及条件(ii），所以不妨假设 f (a ) = f (a) + ， f (b ) = f (b) − . 对任意 a  x1  x2  b ，记       − + − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 x x f x x x f x f x g x f x ， 显然 g 是连续函数，且对 1 2 x  x  y  x ，有 g (x) g (x) g (y) g (y) − + − +        . （5） 由凸函数定义的式（3）形式知，只需证对 1 2 x  x  x ， g(x)  0 . 用反证法：若不然，则存在 ( , ) 0 1 2 x  x x 使得 ( ) max ( ) 0 1 2 0 =    g x g x x x x . 由引理1，有 g (x0 ) = 0 . 令 sup{ [ , ) ( ) 0} x1 = y  x1 x0 g y = ，由 g 的连续性，这样的 1 x 是存在且 g(x1 ) = 0. 显然，对 1 0 x  x  x ，有 g(x)  0. 于是