alo(a'+B)]=a'+B'=ao-(a)+oo(B)=alo-(a)+o-(B)] 两边用σ作用得 o'(ad+=o(a)+o'(') 于是同构定义中条件1)满足同理可证条件2)满足，所以σ是V到V的同构映射. 2)设G和r分别是V到V,V到V"的同构映射显然t0是一个V'到V"的双射.又对 a,BeV,keP有 (roXa+B)=r(a(a+B))=r(a(a)+a(B))=(roXa)+(roXB) (o)(ka)=t(a(ka))=1(ka(a)=k(ro)(a) 故to是V到V"的同构映射 由于V到V的恒等映射，显然是一同构映射，故由性质5可知同构具有反身性，对称性与传递 性 因为P上任一n维线性空间均与P同构由同构的对称性与传递性立得：数域P上的任意二n维 线性空间同构 综上所述，我们右 定理12数域P上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同， 由前面的讨论知，同构的线性空间具有相同的代数性质，因为P上n维线性空间V与P同构 所以P中成立的代数性质，在V中也成立例如P"中任意n+1个向量必线性相关，在V中同样成立， 不需重复证明 预习：本章后三节的基本概念与主要定理 $5一§7习题课 教学目标复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力，1 1 1 1 1                [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] − − − − −         + = + = + = + 两边用 1  − 作用得 1 1 1        ( ) ( ) ( ) − − −     + = + , 于是同构定义中条件 1)满足.同理可证条件 2)满足,所以 1  − 是 V ' 到 V 的同构映射. 2) 设  和  分别是 V 到 V ' ,V ' 到 V ' 的同构映射.显然  是一个 V ' 到 V ' 的双射.又对  , V , k P  有 ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( )( ) ( )( )                 + = + = + = + ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )( )           k k k k = = = 故  是 V 到 V " 的同构映射. 由于 V 到 V 的恒等映射，显然是一同构映射，故由性质 5 可知.同构具有反身性，对称性与传递 性. 因为 P 上任一 n 维线性空间均与 n P 同构.由同构的对称性与传递性立得：数域 P 上的任意二 n 维 线性空间同构. 综上所述，我们有 定理 12 数域 P 上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同. 由前面的讨论知，同构的线性空间具有相同的代数性质，因为 P 上 n 维线性空间 V 与 n P 同构. 所以 n P 中成立的代数性质，在 V 中也成立.例如 n P 中任意 n+1 个向量必线性相关，在 V 中同样成立， 不需重复证明. 预习: 本章后三节的基本概念与主要定理. §5—§7 习题课 教学目标: 复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力