σ(a+B=(a+),.,(an+b)En)=(a+).,(an+b》 =(a,a,·,a)+(b.b.,b)=o()+o(B) a(ka)=((ka +(ka)++(ka,))(ka.kaz.ka) =k(a,a,.,a)=ka 所以V与P”同构. 下面研究同构映射的性质 1.(0)=0,c(-)=-(a) 证明在定义12的2)中分别取k=0,-1即得 2.o(ka+k%2++k,a,)=ko(a)++k,o(a). 证明：将定义12中1)与2)结合起来，并用归纳法即得 3.设a,.,&,∈V.则它们线性相关的充要条件是c(a),o(a),.,o(a,)线性相关 证明必要性.设k,k2,.,k,不全为零.使k%+k凸2+.+k0,=0,则 a(ka+ka:+.+k,a,)=ko(aj)+.+ko(a.)=0 故σ(a),o(a2)2.,σ(a)线性相关 充分性.设k,k2,.,k同上，使ko(a)+.+k,o(a,）=0,则由o是同构映射有 o(k+ka+.+k,a,)=0 由o是双射知必有k4+k42++k,C,=0,故a4,2,.,a,线性相关 由3.可知同构的线性空间的维数相同 4.若是V的子空间，则 a(V)=G(a)aeV) 是o(V的子空间，并且dimY-dimo() 证明由定理及同构映射的定义即得 5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同映射 证明1)设o是V到V'的同构映射，则σ显然是V"到V的双射.令a心，B是V'中任意二向量，则 1 1 1 1 1 ( ) (( ) , ,( ) ) (( ), ,( )) n n n n n       + = + + = + + a b a b a b a b = 1 2 ( , , , ) n a a a + 1 2 ( , , , ) n b b b = +     ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 ( ) (( ) ( ) ( ) ) ( , , , ) n n n       k ka ka ka ka ka ka = + + + = 1 2 ( , , , ) n = = k a a a k 所以 V 与 n P 同构. 下面研究同构映射的性质 1.      (0) 0, ( ) ( ) = − = − . 证明 在定义 12 的 2)中分别取 k = − 0, 1 即得. 2. 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) r r r r         k k k k k + + + = + + . 证明：将定义 12 中 1)与 2)结合起来，并用归纳法即得 3.设 1 2 , , , .   r V 则它们线性相关的充要条件是 1 2 ( ), ( ), , ( )      r 线性相关. 证明 必要性.设 1 2 , , , r k k k 不全为零.使 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = ,则 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 r r r r         k k k k k + + + = + + = 故 1 2 ( ), ( ), , ( )      r 线性相关. 充分性.设 1 2 , , , r k k k 同上，使 1 1 ( ) ( ) 0 r r k k     + + = ,则由  是同构映射有 1 1 2 2 ( ) 0 r r     k k k + + + = 由  是双射知必有 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = ，故 1 2 , , ,   r 线性相关. 由 3．可知同构的线性空间的维数相同. 4. 若 V1 是 V 的子空间,则 1 1     ( ) { ( ) } V V =  是  ( ) V 的子空间,并且 1 1 dim dim ( ) V V =  证明 由定理及同构映射的定义即得. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同映射. 证明 1）设  是 V 到 V ' 的同构映射，则 1  − 显然是 V ' 到 V 的双射.令    , 是 V ' 中任意二向量，则