证明设W是y的真子空间.如果dimW=n-l,则结论成立.因此可设dimW=r<n-2.令e1,…,c, 为W的基，将其扩充为V的基：e1,…,C,+1,·,Cn 令W=L(e…,G,e+ ,en-1).Wa L(er, W3=L(e r+2十E - …,Wn-l=e1,…,,er+1,r+2,…,n-1+en) 则wSn形，又对任意的aenW,则 a=kier+...+krer+kr+ier++...+kn-ien-1=her+...+lrer+lr+i(er+i+en)+...+In-ien-1, 由此可得t+1=0,由此k+1=0.同理可得k+2=·=kn-1=0,于是a∈W 例6.18()设f)=x+x2+x+1,fa)=x3+2x2+3江+4，V=F[4,0=L(f):9》,求V/U的 一组基 (②)设fE)是数域上F上的n次多项式，令(U)={g(r儿g(r)∈F,fr)g(x)h,求Fr/U)的维数. 练习1，令S={化，2，}，证明L(S)=形： 2,设S={AB-BA4B∈Mn(F),证明dim(L(S)=n2-1,并求L(S)的一组基 b c a c a b a b c 例6.19设a,五，c是实数.A= c a B=a b=c a b 证明：()A,B,C彼此相似（②）如果B =CB,则A至少有两个特征根为零 ()P=E(2.3).P -E(,2).PPAPP B.PP:APP C.PPPPs, 故A与B相似，A与C相似，从而A,B,C相似 c a b a b c a b cc a b ()②因为Bc=cB,即a b cbc a=be&abc b e a ca b c a b 6 e a 比较对应元素有a2+b2+c2=ab+bc+ac,即a2+2+c2-ab-bc-ac=0,两边同乘以a+b+c得a3+ +c2-3abc=0.A的特征多项式f)=3-(a+b+c)A2-(a2+2+2-b-bc-acA+a3++c3-3abc 得f)=X3-(a+b+已，故4至少有两个特征根为零。 第8页 y² W ¥V ˝fòm. XJdimW = n−1,K(ÿ§·. œdådimW = r < n−2.-e1, · · · , er èWƒ, ÚŸ*øèV ƒ:e1, · · · , er, er+1, · · · , en. -W1 = L(e1, · · · , er, er+1, · · · , en−1), W2 = L(e1, · · · , er, er+1 + en, · · · , en−1), W3 = L(e1, · · · , er, er+1, er+2 + en, · · · , en−1), · · · , Wn−1 = L(e1, · · · , er, er+1, er+2, · · · , en−1 + en). KW ⊆ ∩n−1 i=1 Wi , qÈ?øα ∈ ∩n−1 i=1 Wi , K α = k1e1 + · · · + krer + kr+1er+1 + · · · + kn−1en−1 = l1e1 + · · · + lrer + lr+1(er+1 + en) + · · · + ln−1en−1, ddåtr+1 = 0, ddkr+1 = 0. ”nåkr+2 = · · · = kn−1 = 0, u¥α ∈ W. ~6.18 (1) f(x) = x 3 +x 2 +x+ 1, f(x) = x 3 + 2x 2 + 3x+ 4, V = F[x]4, U = L(f(x), g(x)), ¶V /U ò|ƒ. (2) f(x)¥Íç˛F˛ngıë™, -(f) = {g(x)|g(x) ∈ F[x], f(x)|g(x)}, ¶F[x]/(f)ëÍ. ˆS 1, -S = {t, t2 , t3}, y²L(S) = R3 ; 2, S = {AB − BA|A, B ∈ Mn(F)},y²dim(L(S)) = n 2 − 1 , ø¶L(S)ò|ƒ. ~6.19 a, b, c ¥¢Í.A =   b c a c a b a b c  , B =   c a b a b c b c a  , C =   a b c c a b b c a   y²: (1) A, B, C*dÉq;(2) XJBC = CB, KAñk¸áAäè". (1) -P1 = E(2, 3), P2 = E(1, 2),KP2P1AP1P2 = B, P1P2AP2P1 = C, P −1 1 = P1, P −1 2 = P2, AÜBÉq, AÜCÉq, l A, B, CÉq. (2) œèBC = CB, =   c a b a b c b c a     a b c b c a c a b   =   a b c b c a c a b     c a b a b c b c a  . 'ÈAÉka 2 +b 2 +c 2 = ab+bc+ac, =a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ac = 0, ¸>”¶±a+b+ca 3 + b 3+c 3−3abc = 0. AAıë™f(λ) = λ 3−(a+b+c)λ 2−(a 2+b 2+c 2−ab−bc−ac)λ+a 3+b 3+c 3−3abc. f(λ) = λ 3 − (a + b + c)λ 2 , Añk¸áAäè". 1 8 ê