(2)设有k,l使得a1+ka2,1+la2∈W1,则(k-l)2∈W1.因为a2W1,所以k-1=0.于是k=l 例6.12设W,W2,…,W,是线性空间V的s个非平凡子空间，则存在aeV使得a度形，i=1,…,s 证对s运用归纳法证明.当s=1时，结论显然成立.假定对s-1时结论成立，即存在a∈V使得α度 W.i=1.··,s-1.对s的情形.若a4V.则结论成立：若a∈V.则存在6dV.考虑所有6+ka,有 上题B+kaW,且最多只有一个k使得B+ka∈W,i=,· ·,s-1.取为异于k1,…,k,-1的任意值 则=B+即为所求 例6.13设K,是数域P上的n维线性空间V的子空间，且dim(+2)=dim(%n)+1,证明：或 者=-+，吃=hn或者=h+,y=Mn 证因为dim(%+2)=dimM+dim-din(n),所以由dim(+)=dim(n)+1得dimM+ dimk-dim(Mn2)=dim(n)+1,于是dimM-dim(%n2)+dim3-dim(%n)=1,因 此dimW-dim(Wn)=1且dim5-dim(Kn)=0或者dim-dim(Wn)=1且dimV-dim(Wn )=0. 若d击m-dim(%n)=1且dim-dim(Mn)=0,则=n,于是,因此=+ =Mn2;若dim巧-dim(%n)=1且imM-dim(Kn)=0,同理可得%=M+2,=Mn%. 例6.14对于F的任一子空间W,存在一个齐次线性方程组Az=0使得W为A :0的解空间 01 证取W的一个基1，…，a,其中a4=(a1,a2,…,an),i=1,…,n,作A 设A=0的 解空间SA的基为品1，…，月-，其中 2 作B b12 则AB'=0 61.n-r 62.n- 于是BA'=0,所以每个a4∈SB,于是WSSB,这里SB为Bx=0的解空间.因为r(B)=n-r,所 以dimSg=r,而dimW=r,于是W=Sa 例6.15V是数域P上的n维线性空间，a1,2,…,an为V的一组基，月，2，…，An∈V.若（问，风2，…，3n) (a1,a2,…,n)4,则L(81,32,…,Bn)=r(4. 证设r(④=n.则存在可逆矩阵PQ使得P4Q=(E0）】 00 令(m,2,…,n)=(a1,a2,…,an)P-1, 由a1,a2,…,an线性无关及P-1可逆得1,2，…，n线性无关. 因高a-P-PA0-6m(后8）Q- …,0…,0Q-1 所以r(a,2,…,)=rm,2,…,)=r=r(.即(，2，…，n)=r(A 例6.16设a1,,o.为线性空间V的k个两两不同的线性变换.则存在a∈V使得o1(a,2(a)…,ok(a)也 两两不同。 证明令%={a∈Va(o)=a(a},ij=1,…,k,则0∈，因此%非空且为v的子空间.由于 当i≠时，a:≠a,所以存B∈V使得a()=a(),所以V%是V的真子空间.于是存在？V,使得a∈V使 得aVi,j=l,…,k.因此o,(a)=o(a 例6.17任何维线性空间V的真子空间均可表示成若干个n-1维子空间的交 第7页(2) kk, l¶α1 + kα2, α1 + lα2 ∈ W1, K(k − l)α2 ∈ W1. œèα2 6∈ W1, §±k − l = 0, u¥k = l. ~6.12 W1, W2, · · · , Ws¥Ç5òmV sáö²Öfòm, K3α ∈ V ¶α 6∈ Wi , i = 1, · · · , s y Ès$^8B{y². s = 1û, (ÿw,§·. b½Ès − 1û(ÿ§·, =3α ∈ V ¶α 6∈ Wi , i = 1, · · · , s − 1. Èsú/, eα 6∈ Ws, K(ÿ§·; eα ∈ Ws, K3β 6∈ Ws. ƒ§kβ + kα, k ˛Kβ + kα 6∈ Ws, ÖÅıêkòáki¶β + kiα ∈ Wi , i = 1, · · · , s − 1.k0è…uk1, · · · , ks−1?øä, Kγ = β + k0=觶. ~6.13 V1, V2¥ÍçP˛nëÇ5òmV fòm,Ödim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, y²:½ ˆV1 = V1 + V2, V2 = V1 ∩ V2 ½ˆV2 = V1 + V2, V1 = V1 ∩ V2. y œèdim(V1+V2) = dimV1+dimV2−dim(V1∩V2), §±ddim(V1+V2) = dim(V1∩V2)+1dimV1+ dimV2 − dim(V1 ∩ V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, u¥dimV1 − dim(V1 ∩ V2) + dimV2 − dim(V1 ∩ V2) = 1, œ ddimV1 −dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV2 −dim(V1∩V2) = 0 ½ˆdimV2 −dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV1 −dim(V1∩ V2) = 0" edimV1−dim(V1∩V2) = 1 ÖdimV2−dim(V1∩V2) = 0, KV2 = V1∩V2, u¥V2 ⊆ V1, œdV1 = V1+V2, V2 = V1 ∩V2; edimV2 −dim(V1 ∩V2) = 1 ÖdimV1 −dim(V1 ∩V2) = 0, ”nåV2 = V1 +V2, V1 = V1 ∩V2. ~6.14 ÈuF n?òfòmW, 3òá‡gÇ5êß|Ax = 0¶WèAx = 0)òm. y Wòáƒα1, · · · , αr, Ÿ•αi = (ai1, ai2, · · · , ain), i = 1, · · · , n, äA =   α1 α2 · · · αr   , Ax = 0 )òmSAƒèβ1, · · · , βn−r, Ÿ•βj =   b1j b2j · · · bnj   , äB =   b11 b21 · · · bn1 b12 b22 · · · bn2 · · · · · · · · · · · · b1,n−r b2,n−r · · · bn,n−r   , KAB0 = 0, u¥BA0 = 0, §±záα 0 i ∈ SB, u¥W ⊆ SB, ˘pSBèBx = 0)òm. œèr(B) = n − r, § ±dimSB = r, dimW = r, u¥W = SB. ~6.15 V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn èV ò|ƒ, β1, β2, · · · , βn ∈ V . e(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)A, KL(β1, β2, · · · , βn) = r(A). y r(A) = r. K3å_› P, Q¶P AQ = Er 0 0 0 ! . -(γ1, γ2, · · · , γn) = (α1, α2, · · · , αn)P −1 , dα1, α2, · · · , αnÇ5Ã'9P −1å_γ1, γ2, · · · , γnÇ5Ã'. œè(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P −1P AQQ−1 = (γ1, γ2, · · · , γn) Er 0 0 0 ! Q−1 = (γ1, γ2, · · · , γr, 0, · · · , 0)Q−1 . §±r(β1, β2, · · · , βn) = r(γ1, γ2, · · · , γr) = r = r(A). =L(β1, β2, · · · , βn) = r(A). ~6.16 σ1, ..., σkèÇ5òmV kḸÿ”Ç5CÜ. K3α ∈ V ¶σ1(α), σ2(α), · · · , σk(α)è ¸¸ÿ”. y² -Vij = {α ∈ V |σi(α) = σj (α)}, i, j = 1, · · · , k, K0 ∈ Vij , œdVij öòÖèV fòm.du i 6= jû, σi 6= σj , §±β ∈ V ¶σi(β) = σj (β), §±Vij ¥V ˝fòm.u¥3? ?V ,¶α ∈ V ¶ α 6∈ Vij , i, j = 1, · · · , k. œdσi(α) = σj (α). ~6.17 ?¤nëÇ5òmV ˝fòm˛åL´§eZán − 1ëfòm. 1 7 ê