例刚6.8四设是数城F上1+2-=0的解空间，是数城F上2-4=0的解空间，证明 2+x3=0 听⊕2. (②)设，分别是齐次线性方程组1+…+=0与1=型=…=xn的解空间，证明：M,,Fm作 为数域F上的线性空间满足Fm=Y⊕2 证明：以()为例解方程 =0得基础解析为61=1,10叭，所以4=L(6方 x3=0的基础解析为 2t0y,6=.0以所以M= 因为水，6=2，所以6a,线性无关，所以为F的一组基，因此产=(，= ⑤6.g1设4是数域P上的n×n矩阵V是与4可交换的n×n矩阵的全休 (证明：V对矩阵加法以及矩阵与P中数的数量乘法构成P上的一个线性空间 10 (m)若A=011 ,求V的一组基底与维数 001 证明)令W为P上所有m×n矩阵构成的线性空间，V是W的子集.由AOm=OnA知V非空.对任 意B.CEvkep有 新去出的￥设wB-@ 及矩阵与P中数的数量乘法封闭，故V是W的子空间，因而也 是P上的一个线性空间. (2)设B=()3×3∈V,由AB=BA可得 b11=B2=bg=a,b21=bg1=b32=0,b21=b2s=b 于是B= 0 a b a,b,cE P. 反之形如 代的3级万 阵B与A可交换.故V由 切形如B的3级方阵组成.又 B=a010 +6 001 +c000 001 000 000 100 0101/0011 )10 000 线性无关，故它们作成V的一组基，因此im()=3 000 000 例6.10设V是数域P上的线性空间，，是V的两个非平凡的子空间.证明：存在a∈V使得a MU.等价的说法：若店与？是V的两个真子空间.则MU及是V的真子空间当且仅当MU=V. 例6.11设W,W是V的子空间，a4,a2∈V满足aW2,a2∈W,a2W.证明 ()对任何数1+k22；（②）最多只有一个x使 证(1)若a+ka2是W2,则a=(a1+ka2)-ka2∈W2,矛盾 第6页 ~6.8 (1) V1¥ÍçF˛ ( x1 + x2 − x3 = 0 x2 + x3 = 0 )òm,V2¥ÍçF˛x2−x3 = 0)òm,y²:F 3 = V1 ⊕ V2. (2) V1, V2©O¥‡gÇ5êß|x1 + · · · + xn = 0Üx1 = x2 = · · · = xn)òm, y²:V1, V2, F nä èÍçF˛Ç5òm˜vF n = V1 ⊕ V2. y²: ±(1)è~, )êß ( x1 + x2 − x3 = 0 x2 + x3 = 0 ƒ:)¤èξ1 = (1, 1, 0)0 , §±V1 = L(ξ1); x2 − x3 = 0ƒ:)¤èξ2 = (−1, 1, 0)0 , ξ3 = (1, 0, 1)0 , §±V1 = L(ξ2, ξ3); œè|ξ1, ξ2, ξ3| = 2, §±ξ1, ξ2, ξ3Ç5Ã', §±èF 3ò|ƒ, œdF 3 = L(ξ1, ξ2, ξ3) = V1 ⊕ V2. ~6.9 (1) A¥ÍçP˛n × n› , V ¥ÜAåÜn × n› N. (i) y²: V È› \{±9› ÜP•ÍͲ¶{§P˛òáÇ5òm; (ii) eA =   1 1 0 0 1 1 0 0 1  , ¶V ò|ƒ.ÜëÍ. y² (1) -WèP˛§kn × n› §Ç5òm, V ¥Wf8.dAOn = OnAV öò. È? øB, C ∈ V, k ∈ Pk A(B + C) = AB + AC = BA + CA = (B + C)A, A(kB) = k(AB) = (kB)A, §±B + C, kB ∈ V ,œdV È› \{±9› ÜP•ÍͲ¶{µ4,V ¥Wfòm, œ è ¥P˛òáÇ5òm. (2) B = (bij )3×3 ∈ V , dAB = BAå b11 = B22 = b33 = a, b21 = b31 = b32 = 0, b21 = b23 = b. u¥B =   a b c 0 a b 0 0 a  , a, b, c ∈ P. áÉ/X˛„/™3?ê BÜAåÜ. V dòÉ/XB3?ê |§. q B = a   1 0 0 0 1 0 0 0 1   + b   0 1 0 0 0 1 0 0 0   + c   0 0 1 0 0 0 0 0 0  ,   1 0 0 0 1 0 0 0 1   ,   0 1 0 0 0 1 0 0 0   ,   0 0 1 0 0 0 0 0 0   Ç5Ã', ßÇä§V ò|ƒ, œddim(V ) = 3. ~6.10 V ¥ÍçP˛Ç5òm,V1, V2 ¥V ¸áö²Öfòm.y²: 3α ∈ V ¶α 6∈ V1 ∪ V2. d`{: eV1 ÜV2 ¥V ¸á˝fòm.KV1 ∪ V2 ¥V ˝fòmÖ=V1 ∪ V2 = V . ~6.11 W1, W2 ¥V fòm, α1, α2 ∈ V ˜vα1 6∈ W2, α2 ∈ W2, α2 6∈ W1. y² (1) È?¤Ík, α1 + kα2 6∈ W2; (2) Åıêkòák¶α1 + kα2 ∈ W1. y (1) eα1 + kα2 6∈ W2, Kα1 = (α1 + kα2) − kα2 ∈ W2, gÒ. 1 6 ê