证明：L(3,32,…,月，)的维数等于A的秩. 证令amk(4)=r不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1,其余s-r列构成 的矩阵记为A2,则A=(A1,A2),且rank(A) rank(A) r.因为(,2, (a1,02 an)A,所 2 以(31,2，…，8r)=(1,02,…,0n)A1.设k11+22+…+存3，=0，即(，2，…，品) 是(a, 0,从而A =0,由ramk(A)=r知，该方程组只有零解，故，…，，线 性无关 任取36=1，…，s)将A的第j列添在A1的右边，构成的矩阵记为B,则(，…，A,月)=(Q1,…,an)B h 设品+…+，.++1 0,即(，…，品，月》 0,于是(a1,…,an)B 从而B =0,由rank(B)=r知该方程组有非零解，故3，…，品，B,G=1,·,)线性相关.这 表明A,…,B的极大线性无关组为，…，.于是dimL(,…,B)=r=rank(A. 例6.6（设R的两组基为a1=(1,2-1,0),a2=(1,1,0,0),a=(（1,-1,2,1,4=(0,1,1,-1 (（1,2,3,4),=(-2,1,-43,=8,-4-1,2),8A4=(43,-2,-1),求由a,a2,a3a4到8，，3，的过 渡矩阵A (2)设4中a1=(1,2,1,0),02=(-1,1,1,1),03=(0,3,2,1)生成的子空间为%，31=(2，-1,0,1)，3= 1,-1,3,7)生成的子空间为%，分别求5+，n的一组基. 1-234 111 解由题设知(，2,,)=(a1,a2,g,a4)4于是 432-1 /217-14-9 所以A= -32-262422 12 例6.7设V是由次数不超过4的一切实系数一元多项式组成的线性空间，对于V中任意多项式P工)除 以r2-1得商式及余式分别为Q(回)及)，即P()=Q(2-1)+R,R()=0或)的次数< 设p是从V到V得-一个映射使得P)=R). ()证明，是V的一个线性变换： (2)求关于V的基1，x,x2,x3,x的矩阵. 第5页y²:L(β1, β2, · · · , βs)ëÍuAù. y -rank(A) = r.ÿîòÑ5,AcrÇ5Ã',øÚ˘r§› PèA1,Ÿ{s − r§ › PèA2,KA = (A1, A2),Örank(A1) = rank(A) = r. œè(β1, β2, · · · , βs) = (α1, α2, · · · , αn)A,§ ±(β1, β2, · · · , βr) = (α1, α2, · · · , αn)A1. k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = 0,=(β1, β2, · · · , βr)   k1 k2 . . . kr   = 0, u ¥(α1, · · · , αn)A1   k1 k2 . . . kr   = 0, l A1   k1 k2 . . . kr   = 0, drank(A1) = r,Têß|êk"),β1, · · · , βrÇ 5Ã'. ?βj (j = 1, · · · , s)ÚA1jV3A1m>,§› PèBj , K(β1, · · · , βr, βj ) = (α1, · · · , αn)Bj . l1β1 + · · · + lrβr + lr+1βj = 0,=(β1, · · · , βr, βj )   l1 . . . lr lr+1   = 0,u¥(α1, · · · , αn)Bj   l1 . . . lr lr+1   = 0, l Bj   l1 . . . lr lr+1   = 0, drank(Bj ) = r Têß|kö"), β1, · · · , βr, βj ,(j = 1, · · · , s) Ç5É'. ˘ L²β1, · · · , βs 4åÇ5Ã'|èβ1, · · · , βr.u¥dimL(β1, · · · , βs) = r = rank(A). ~6.6 (1) R4¸|ƒèα1 = (1, 2, −1, 0), α2 = (1, 1, 0, 0), α3 = (1, −1, 2, 1), α4 = (0, 1, 1, −1); β1 = (1, 2, 3, 4), β2 = (−2, 1, −4, 3), β3 = (3, −4, −1, 2), β4 = (4, 3, −2, −1), ¶dα1, α2, α3, α4β1, β2, β3, β4L fi› A. (2) R4•α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), α3 = (0, 3, 2, 1))§fòmèV1,β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7))§fòmèV2, ©O¶V1 + V2, V1 ∩ V2ò|ƒ. ) dK(β1, β2, β3, β4) = (α1, α2, α3, α4)A, u¥   1 −2 3 4 2 1 −4 3 3 −4 −1 −2 4 3 2 −1   =   1 1 1 0 2 1 −1 1 −1 0 2 1 0 0 1 −1   A, §±A = 1 2   22 17 −14 −9 −32 −26 24 22 12 5 −4 −5 4 −1 −8 −3   . ~6.7 V ¥dgÍÿáL4òÉ¢XÍòıë™|§Ç5òm,ÈuV •?øıë™P(x)ÿ ±x 2 − 1˚™9{™©OèQ(x)9R(x), =P(x) = Q(x)(x 2 − 1) + R(x), R(x) = 0½R(x)gÍ< 2. ϕ¥lV V òáN¶ϕ(P(x)) = R(x). (1) y², ϕ¥V òáÇ5CÜ; (2) ¶ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› . 1 5 ê