F→E并且4(F-E)=0 定理13设是环R上σ-有限的测度则E∈当且仅当满足以下条件之 ()存在F∈o()和零测度集A使得F→E并且E=F-A (i).存在G∈a(R)和'零测度集A使得G∈E并且E=G∪A 定理14(X,f,p)为一测度空间.令 ={AUE:A∈,E是H-可略集} 对任意B=A∪E∈,令(B)=(A).则 (1)是σ代数并且c ()是上的测度并且在上= (i).测度空间(X,,)是完备的 定理14中的测度空间(x,,)称为是(X,,A)的完备化空间.定理14表明任何 测度空间都存在其完备化空 定理15设是环上σ-有限的测度则(X,O(R),4)的完备化空间是 特别地,如果(X,,)是一个a-有限的测度空间.则可以通过本节测度延拓的方法 得到的(X,,4)的完备化空间,这个测度空间就是(X,·,°),其中是'-可测集 的全体所成的σ-代数 小结从较简单的集类环上的测度μ出发,扩大其定义域得到外测度.再根据卡氏 条件挑出可测集,-可测集的全体成为一个a-代数,外测度限制在可测集上成为 测度.这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ-代数上这种方法构是造测度常用的 方法下一节将用这种方法构造重要的测度- -Lebesgue测度 习题习题二,第9题一第14题52 F ⊃ E 并且 ( − ) = 0. ∗ µ F E 定理 13 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则 E ∈ ∗ R 当且仅当满足以下条件之一: (i).存在 F ∈ σ (R ) 和 ∗ µ -零测度集 A 使得 F ⊃ E 并且 E = F − A.. (ii).存在G ∈ σ (R ) 和 ∗ µ -零测度集 A 使得G ⊂ E 并且 E = G ∪ A.. 定理 14 (X , F ,µ) 为一测度空间. 令 = { ∪ : ∈ , 是µ − 可略集}. Fµ A E A F E 对任意 , B = A ∪ E ∈Fµ 令 ( ) ( ). ~ µ B = µ A 则 (i). Fµ是σ -代数并且F ⊂ Fµ . (ii). µ ~ 是Fµ上的测度并且在F 上 . ~ µ = µ (iii).测度空间 ) ~ (X , Fµ ,µ 是完备的. 定理 14 中的测度空间 ) ~ (X , Fµ ,µ 称为是(X , F ,µ) 的完备化空间. 定理 14 表明任何 测度空间都存在其完备化空间. 定 理 15 设 µ 是环 R 上 σ − 有限的测度. 则 ( , ( ), ) ∗ X σ R µ 的完备化空间是 ( , , ) ∗ ∗ X R µ . 特别地, 如果(X, F ,µ) 是一个σ -有限的测度空间. 则可以通过本节测度延拓的方法 得到的 (X, F ,µ) 的完备化空间, 这个测度空间就是 ( , , ) ∗ ∗ X F µ , 其中 ∗ F 是 ∗ µ -可测集 的全体所成的σ -代数. 小 结 从较简单的集类环上的测度 µ 出发,扩大其定义域得到外测度 ∗ µ .再根据卡氏 条件挑出 ∗ µ -可测集, ∗ µ -可测集的全体成为一个σ -代数,外测度限制在 ∗ µ -可测集上成为 测度. 这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ -代数上.这种方法构是造测度常用的 方法.下一节将用这种方法构造重要的测度—Lebesgue 测度. 习 题 习题二, 第 9 题—第 14 题