E,=UC,1=1…k 其中{C,1≤i≤k,l≥是由{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}重新编号得到的.由于H在C上 是可数可加的,我们有 (4)=∑(E)=∑∑以(CD)=∑E从E)=∑04) 即在上是可数可加的.因此是环上的测度■ 定理8使得我们构造一个测度时更加容易.在§2.3和§46我们将看到这个定理的应用 测度的完备性下面我们考虑测度的完备性.设(X,,4)为一测度空间,EcX 若存在A∈丌,山(A)=0,使得EcA,则称E为μ-可略集.在有些问题中会涉及到关 于μ-可略集可测性的讨论.如果μ-可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便.然而对 一般的测度空间而言,μ-可略集不一定是可测集 例1设X=[0,1],分={X,}令(X)=()=0,则是a-代数上的测度 令E=[0,],则E是-可略集,但E 定义9设(x,,)为一测度空间.若每个-可略集E都是可测集(即E∈),则 称关于测度是完备的,或称测度空间(X,,4)是完备的 例如,例2中的关于y不是完备的 定理10设是环R上的测度,p是由导出的外测度,”是山-的全体所成的集 类.则关于测度是完备的 证明设E是4-可略集.则存在A∈R”,使得'(A)=0并且EA由外测度的 单调性得到μ'(E)=0.显然此时E满足卡氏条件,故E∈R”.因此”关于测度A是完 备的.■ 以下部分不作为课堂讲授内容,这里仅介绍结果,略去证明 设是环R上的测度,'是由导出的外测度,R”是可测集的全体所成的σ 代数.由定理5,是上的测度并且()∈M..一般情况下o()关于不一定 是完备的.而由定理10,”关于测度A总是完备的因此一般情况下集类”要比σ(R) 大下面的定理表明R中的集与a(R)中的集至多相差一个零测度集 定理11设H是环上的测度则对任意E∈”,存在F∈(),使得F=E并且 (F)='(E)特别地当'(E)<+∞时,'(F-E)=0 定理12设是环上a-有限的测度.则对任意E∈”,存在F∈O(),使得51 , 1, , . 1 , E C i k l i =∪ i l = " ∞ = 其中{ , 1 , 1} Ci,l ≤ i ≤ k l ≥ 是由{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 重新编号得到的. 由于 µ 在C 上 是可数可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 , 1 1 , 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ∞ = = = = = = n n n k j n j k i l i l k i A Ei C F A n µ µ µ µ µ 即 µ 在R 上是可数可加的. 因此 µ 是环R 上的测度.■ 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在§2.3 和§4.6 我们将看到这个定理的应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性. 设 (X, F ,µ) 为一测度空间, E ⊂ X. 若存在 A∈ F , µ(A) = 0, 使得 E ⊂ A, 则称 E 为 µ -可略集. 在有些问题中会涉及到关 于 µ -可略集可测性的讨论. 如果 µ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然而对 一般的测度空间而言, µ -可略集不一定是可测集. 例 1 设 X = [0, 1], F ={X , ∅}.令 µ(X ) = µ(∅) = 0, 则 µ 是σ -代数F 上的测度. 令 E [0, ]2 1 = , 则 E 是 µ -可略集, 但 E ∉ F . 定义 9 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 若每个 µ -可略集 E 都是可测集(即 E ∈ F ), 则 称F 关于测度 µ 是完备的, 或称测度空间(X , F ,µ) 是完备的. 例如, 例 2 中的F 关于 µ 不是完备的. 定理 10 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -的全体所成的集 类. 则 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 证明 设E是 µ −可略集. 则存在 A∈ ∗ R , 使得 ( ) = 0 ∗ µ A 并且 E ⊂ A. 由外测度的 单调性得到 ( ) = 0. ∗ µ E 显然此时 E 满足卡氏条件, 故 E ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完 备的. ■ 以下部分不作为课堂讲授内容, 这里仅介绍结果, 略去证明. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体所成的σ - 代数. 由定理 5, ∗ µ 是 ∗ R 上的测度并且σ (R ) ⊂ ∗ M µ . 一般情况下σ (R ) 关于 ∗ µ 不一定 是完备的. 而由定理 10, ∗ R 关于测度 ∗ µ 总是完备的. 因此一般情况下集类 ∗ R 要比σ (R ) 大. 下面的定理表明 ∗ R 中的集与σ (R ) 中的集至多相差一个零测度集. 定理 11 设 µ 是环R 上的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得 F ⊃ E 并且 (F) (E). ∗ ∗ µ = µ 特别地当 < +∞ ∗ µ (E) 时, ( − ) = 0. ∗ µ F E 定理 12 设 µ 是环R 上σ -有限的测度. 则对任意 E ∈ ∗ R , 存在 F ∈ σ (R ), 使得