(A)=∑u(1) 由于对给定的A∈R,A的分解式A=U4不是唯一的因此需要证明如下的引理 引理7设是半环C上的非负值集函数并且满足()=0和有限可加性则由(8)式 定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取 证明设A∈R,A=∪A和A=UB是A的两个分解式令 E=A∩B,i=1…,k,j=1 则{E,1≤i≤k,1sj≤m是C中的一组互不相交的集.并且对每个1≤i≤k和 ≤j≤m,成 B=UE 由于p在C上是有限可加的,我们有 (4)=∑∑(E)=∑∑(E)=∑(B) i=l j=l 这表明(A)的值不依赖于A的分解式的选取■ 在§2.1中我们定义了环上的测度,同样,若4是半环C上的非负值集函数满足 ()=0和可数可加性,则我们称4是C上的测度 定理8设H是半环C上的测度.是由C生成的环.则由(8)式定义的集函数4是环 上的测度 证明由引理7,对任意A∈,山(A)的值不依赖于A的分解式的选取.因此在 上的定义是确定的.为证是环R上的测度,只需证明4在上是可数可加的.设{An} 是中的一列互不相交的集使得A=UA∈R设A和A,(m≥1)的分解式分别为 A=UE, A=UFmj, n2l 则{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}是C中的一列互不相交的集我们有50 ( ) ( ). 1 ∑= = k i µ A µ Ai (8) 由于对给定的 A∈ R , A 的分解式 ∪ k i A Ai =1 = 不是唯一的. 因此需要证明如下的引理. 引理 7 设 µ 是半环C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 则由(8)式 定义的集函数 µ 的值不依赖于集的分解式的选取. 证明 设 A∈ R , ∪ k i A Ai =1 = 和 ∪ m j A Bj =1 = 是 A 的两个分解式. 令 E A B , i 1, , k, j 1, ,m. ij = i ∩ j = " = " 则 {E , 1 i k, 1 j m} ij ≤ ≤ ≤ ≤ 是 C 中的一组互不相交的集 . 并且对每个 1 ≤ i ≤ k 和 1 ≤ j ≤ m, 成立 ∪ m j Ai Eij 1 , = = ∪ k i Bj Eij 1 . = = 由于 µ 在C 上是有限可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = = = = = m j j m j k i ij k i m j ij k i µ Ai µ E µ E µ B 这表明 µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取.■ 在§2.1 中我们定义了环上的测度. 同样, 若 µ 是半环C 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和可数可加性, 则我们称 µ 是C 上的测度. 定理 8 设 µ 是半环C 上的测度. R 是由C 生成的环. 则由(8)式定义的集函数 µ 是环 R 上的测度. 证明 由引理 7, 对任意 A∈ R, µ(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取. 因此 µ 在R 上的定义是确定的. 为证 µ 是环R 上的测度, 只需证明 µ 在R 上是可数可加的. 设{ } An 是R 中的一列互不相交的集, 使得 = ∈ ∞ = ∪ n 1 A An R. 设 A 和 A (n ≥ 1) n 的分解式分别为 , 1 ∪ k i A Ei = = , 1. 1 = , ≥ = A F n n k j n ∪ n j 则{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 是C 中的一列互不相交的集. 我们有