容易证明存在中一列互不相交的集{En},使得 X=UEn并且H(En)<+∞0,n21 (见本章习题第11题)对每个n≥1,令 n={A∈(R):H1(A∩En)=2(A∩En)} 若A∈,则A∩En∈,于是由假设条件有 H1(A∩En)=42(A∩En) 因此A∈n,这表明R∈兀容易证明是一个类.由§1.3推论12,a()cn 即对每个A∈()成立 1(A∩En)=H2(A∩En),n≥1. 对n求和,即得H1(A)=2(4).因此在a()上1=2.画 结合定理5和定理6知道,若是环R上的σ有限测度,则可以唯一地延拓成为 a(R)上的测度(事实上,可以延拓成为更大的σ-代数即R”上的测度)测度的延拓过程如 图2—3 环R上的扩大(X)上的缩小e上的缩小/(?)上的 测度H 外测度4 测度A 测度 图2-3 半环上的测度及延拓上面讨论了定义在环上的测度的延拓.但有时验证环上的一个 集函数是一个测度也并非易事.下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度 设C是一个半环,=界(C)是由C生成的环,即 ={4=∪4:其中A1…,4属于C并且互不相交,k≥1} (参见13)称A=UA为A的一个分解式又设H是C上的非负值集函数并且满足 ()=0和有限可加性.按下面的方式将延拓到上.对每个A∈,若A的一个分 解式为A=A,则令49 容易证明存在R 中一列互不相交的集{ } En , 使得 ∪ ∞ = = n 1 X En 并且 (E ) < +∞, n ≥ 1. µ n (见本章习题第 11 题). 对每个 n ≥ 1, 令 { ( ) : ( ) ( )}. Fn = A∈σ R µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 若 A∈ R, 则 A ∩ En ∈ R, 于是由假设条件有 ( ) ( ). µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En 因此 A∈ . Fn 这表明R ⊂ . Fn 容易证明Fn 是一个 λ 类. 由§1.3 推论 12, σ (R ) ⊂ . Fn 即对每个 A∈ σ (R ) 成立 ( ) ( ), 1. µ1 A ∩ En = µ 2 A ∩ En n ≥ 对n 求和, 即得 ( ) ( ). µ1 A = µ 2 A 因此在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 ■ 结合定理 5 和定理 6 知道, 若 µ 是环R 上的σ 有限测度, 则 µ 可以唯一地延拓成为 σ (R ) 上的测度(事实上, 可以延拓成为更大的σ -代数即 ∗ R 上的测度). 测度的延拓过程如 图 2—3. 图 2—3 半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓. 但有时验证环上的一个 集函数是一个测度也并非易事. 下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度. 设C 是一个半环, R = R (C ) 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A A A A k k k i R ∪ i 其中 " 属于C 并且互不相交 (参见§1.3). 称 ∪ k i A Ai =1 = 为 A 的一个分解式. 又设 µ 是C 上的非负值集函数并且满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 按下面的方式将 µ 延拓到R 上. 对每个 A∈ R , 若 A 的一个分 解式为 ∪ k i A Ai =1 = , 则令 环 上的 R 测度 µ → 扩大  → →  P (X )上的 外测度 ∗ µ 缩小 ∗ R 上的 测度 ∗ µ σ (R ) 上的 测度 ∗ µ 缩小