(A) A∩An)≤∑山A∩A2)≤ u(A,) 对A的所有覆盖取下确界即得(A)≤'(A).因此(A)=(A (i)先证明RcR.设E∈R.又设AcX,并且山'(A)<+∞.对任给的E>0 存在A的一个覆盖{An},使得 (An)<(4)+ 于是我们有 ∑灿(An∩E)+∑山(A∩E)=∑A(A1)<(A) 由于{A4∩E}和{An∩E}分别是A∩E和A∩E的覆盖,故有 (A∩E)≤∑(An∩E ∑(A2 将以上两式代入(7)得 (A∩E)+(A∩E)<'(A 由E>0的任意性得到 (A∩E)+(A∩E)≤'(A) 即E满足卡氏条件(4),故E是'可测集.这表明c”由定理4,是一个a-代数 因此a(R)∈R”■ 设和咒是两个环并且c咒,和2分别是和上的测度.如果对任意 A∈,成立H1(A4)=2(A),则称2是在上的延拓 设是环R上的测度,是由导出的外测度由定理4,限制在宋”上是一个 测度.又由定理5,()c”并且在上'=.因此上的测度是4的延拓 延拓后的测度仍记为.这表明定义在上的测度总可以延拓为一个包含()的σ-代 数上去.一般情况下,延拓测度可能不是唯一的.但我们有如下结果 定理6(延拓测度的唯一性)设是一个环,并且全空间X可表为中一列互不相交 的集的并,1和2是()上的两个测度并且在上是σ有限的.若在上1={2 则在G()上41=H2 证明由于全空间X可表为中一列互不相交的集的并,并且在上是有限的48 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 n n n n n A A An ∑ A A ∑ A ∞ = ∞ = ∞ = ≤ ∩ ≤         µ = µ ∪ ∩ µ µ 对 A 的所有R 覆盖取下确界即得 (A) (A). ∗ µ ≤ µ 因此 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). 先证明R ⊂ ∗ R . 设 E∈R. 又设 A ⊂ X , 并且 ( ) < +∞. ∗ µ A 对任给的ε > 0 , 存在 A 的一个R 覆盖{ }, An 使得 ( ) ( ) . 1 µ < µ + ε ∗ ∞ = ∑ A A n n 于是我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 µ ∩ + µ ∩ = µ < µ + ε ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∑ A E ∑ A E ∑ An A n c n n n n (7) 由于{A E} n ∩ 和{ } c An ∩ E 分别是 A∩ E 和 c A ∩ E 的R 覆盖, 故有 ∑ ∞ = ∗ ∩ ≤ ∩ 1 ( ) ( ), n µ A E µ An E ∑ ∞ = ∗ ∩ ≤ ∩ 1 ( ) ( ). n c n c µ A E µ A E 将以上两式代入(7)得 µ ( ∩ ) + µ( ∩ ) < µ ( ) + ε. ∗ ∗ A E A E A c 由ε > 0的任意性得到 (A E) (A E ) (A). ∗ c ∗ µ ∩ + µ ∩ ≤ µ 即 E 满足卡氏条件(4), 故 E 是 ∗ µ 可测集. 这表明R ⊂ ∗ R . 由定理 4, ∗ R 是一个σ -代数. 因此σ (R ) ⊂ ∗ R .■ 设R1和R2 是两个环并且R1 ⊂ R2 , µ1和 µ 2 分别是R1和R2 上的测度. 如果对任意 A∈ R1 , 成立 ( ) ( ), µ1 A = µ 2 A 则称 µ 2 是 µ1在R2 上的延拓. 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 由定理 4, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个 测度. 又由定理 5, σ (R ) ⊂ ∗ R 并且在R 上 µ = µ. ∗ 因此 ∗ R 上的测度 ∗ µ 是 µ 的延拓. 延拓后的测度仍记为 µ . 这表明定义在R 上的测度总可以延拓为一个包含σ (R ) 的σ -代 数上去. 一般情况下, 延拓测度可能不是唯一的. 但我们有如下结果. 定理 6 (延拓测度的唯一性)设R 是一个环, 并且全空间 X 可表为R 中一列互不相交 的集的并, µ1和 µ 2 是σ (R ) 上的两个测度并且在 R 上是σ 有限的. 若在 R 上 , µ1 = µ 2 则在σ (R ) 上 . µ1 = µ 2 证明 由于全空间 X 可表为R 中一列互不相交的集的并, 并且 µ 在R 上是σ 有限的