(6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 A)≥∑(AE)+(AE)≥'(A∩E)+'(A∩E) 上式表明E满足卡氏条件4试因此E=UEn∈R,这就证明了是a代数 (i)为证4是上的测度,只需证明在R”上是可数可加的设{En}cR”,并 且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E)另 方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E1)=(UE)≤(U∪E) 上式中令n→∞,得到 (E)≤(UE) 因此 (UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论()和(i)并不依赖于环上的测度p 只用到了定理1中'所满足的性质.因此,我们可以定义任何满足定理1中的(1),(i)和 (i)的集函数A为外测度,然后和定义2一样定义’可测集则定理4的结论对这样定义 的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个σ代数,限制在求上是一个测度.一个自 然的问题是,在上是否等于4?”有多大?下面的定理回答了这两个问题 定理5设是环上的测度,是由导出的外测度.R”是-可测集的全体 所成的集类.则 (i).p在上的限制等于4,即当A∈只时'(A)=p(A (i).a()∈ 证明(1)设A∈,由于{4是A的一个覆盖,故'(A)≤山(A).另一方面,对 A的任意一个覆盖{An},由于A=U(A∩A),我们有47 (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令 n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = ∪ n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并 且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ ∪Ei µ E 另一 方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 ∪ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ ∪Ei µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度.■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的(i),(ii) 和 (iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结论对这样定义 的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个自 然的问题是, 在R 上 ∗ µ 是否等于 µ ? ∗ R 有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理 5 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 µ∗ −可测集 的全体 所成的集类. 则 (i). ∗ µ 在R 上的限制等于 µ , 即当 A∈ R 时 µ (A) = µ(A). ∗ (ii). σ (R ) ⊂ ∗ R . 证明 (i) 设 A∈ R, 由于{A}是 A 的一个R 覆盖, 故 µ (A) ≤ µ(A). ∗ 另一方面, 对 A 的任意一个R 覆盖{ }, An 由于 ∪ ∞ = = ∩ 1 ( ), n A A An 我们有