证明(i)先证明是一个代数.由于空集必和全空间X是μ'可测集故”非空 由可测集的定义立即可以看出若E是-可测的,则E也是山-可测的,因此R”对 余运算封闭.往证”对有限并的封闭性,设E1,E2∈”.令E=E1∪E2,注意到 E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 p'(AnE)+(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+p(A∩E∩E2) F(An ED+LA((AnEONE)+A((An ES)nE2] =1(AnE1)+p'(A∩E)=(A) A∩EC=A∩E∩E2 AOe E∩E2 E2 图 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式这表明E=E1∪E2∈,因此是一个代数 为证是一个σ-代数,只需再证明咒”对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20题)设{En}∈R,并且E,∩E,=(i≠令E=UE,由于”是代数,故 UE,∈,n≥1.利用引理223,对任意ACX,我们有 (4)=|4UE|+|4(UE ≥川14UE+(AnE) ∑(A∩E,)+'(A∩E46 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因此 ∗ R 对 余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 1 12 12 1 12 12 1 1 ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ (( ) ) (( ) )] ( ) ( ) () c c cc c cc c AE AE AE AE E AE E AE AE E AE E AE AE A µ µ µµ µ µµ µ µµ µ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∩+ ∩ ≤ ∩ + ∩∩ + ∩∩ = ∩+ ∩ ∩+ ∩ ∩ = ∩+ ∩ = 图 2—2 (参见图 2—2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 ∪ ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = ∪ n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩   + ∩       ≥ ∩           + ∩       = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ ∪ ∪ ∪ (6) A E1 E2 1 2 C CC A∩ =∩ ∩ E AE E A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩