高等数学教案 第一章函数与极限 因为sinx=Isinx,是无穷小与有界函数的乘积， xX 所以lim sin=0. xx 定理8（复合函数的极限运算法则）设函数)=儿gx)]是由函数y=与函数=gx)复合而成， 几g(c)]在点xo的某去心邻域内有定义，若Iimg(x)=4o,1imfu)=A,且在xo的某去心邻域内 70 g(x)≠4o,则 m/儿g(lim f()=A. 定理8（复合函数的极限运算法则）设函数)y=几g(x)]是由函数)y=)与函数=gx)复合而成， 几gx]在点xo的某去心邻域内有定义.若gx)→ocxo),)→A(u→u),且在xo的某去心 邻域内gx)≠4o,则 limf几g(x]=lim f(u)=A. 简要证明设在{x0<-xdk}内g(x)≠4o. 要证Ve>0,30,当0<本-xdk6时，有Mgx)]-A<e. 因为fw)-→A(u→uo,所以V8>0,3p0,当0<u-o时，有w)-Ake, 又g(x)→uo(x→xo),所以对上述D0,3>0,当0<r-xokd时，有lg(x)-4ok7. 取min{,d},则当0<r-xak时，0<lg(x)-ok7,从而 Mg(x)]-Af(u)-A6 注： 把定理中limg(x)=,换成limg(x)=o或1img()=o, → 而把lim f(u)=A换成limf(u))=A可类似结果. 把定理中g(x)-→o(x→x0)换成g(x)→c(xxo)或gx)→oo(xo), 而把0)→A(u→o)换成(u)→A(→o)可类似结果. 例如 x2-9 例9求x-3 -9是由y=后与4=-9复合而成的。 解y=x-3 x-3 因为1im2-9 x3x-3 2-9=limi=6 6,所以x-3