4)d女 其中C为以± i为顶点的正向菱形 d,其中a为{a≠l的任何复数,C|z=1为正向 乎(+1+= d=2i(4+3)=14 dz 2i/(二+i) a+d2/ i/(二-i) c=0 cos二 cos二 3) d (cos =)l2=02 L=0--(cosz)"l=0=0 5)当|ap1时,14(z-a)在=1上解析,故Cd=0: (z-a) 当|ak<1时 (e)"=rie (二-a) 101证明:当C为任何不通过原点的简单闭曲线时,∮==0 证明当原点在曲线C内部时,∮d=2i()l=0=0:当原点在曲线C外部时,1/2在C内 解析,故手=0 1.下列两个积分的值是否相等?积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到?为什么? 解∮=∫2ic"d=0:∮d=j4edb=0,故两个积分的值相等。但不能利用闭路 变形原理从1)的值得到,因二不是一个解析函数 12.设区域D为右半平面,z为D内圆周|二=1上的任意一点,用在D内的任意一条曲线C连结原 点与二,证明Re 证明函数,2在右半平面解析,故在计算从0到=沿任意一条曲线C的积分时与积分路径无 1d4=1+入+/把e 2 7 412+2cos,(分子分母同乘以1+e-),- 4 - 4） 1 6 , i 2 5 C dz C z i ± ± v∫ 其中 为以 ， 为顶点的正向菱形 － 5） 3 , | | 1 :| | 1 ( ) z C e dz a a C z z a ≠ = − v∫ 其中 为 的任何复数， 为正向 解 1） 4 3 ( ) 2 i(4 3) 14 i 1 2i C dz z z + += π π + + v∫ ＝ 2） 2 | i| 1 | i| 1 2i 2 /( i) 2 /( i) 0 1 -i i Cz z iz iz dz dz dz zzz −= += + − =+= + + vv v ∫∫ ∫ 3） 12 1 2 333 0 0 cos cos cos 2 i 2 i (cos )'' | (cos )'' | 0 2! 2! z z CC C C C zzz dz dz dz z z zzz π π − = = = + =−= − = v vv ∫ ∫∫ 4） 2 i i C dz z = π v∫ － 5） 当| |1 a > 时， 3 3 1/( ) | | 1 0 ( ) z C e z a z dz z a − ≤ − 在 上解析，故 ＝ v∫ ； 当| |1 a < 时， 3 2 i ( )'' | i ( ) 2! z z a z a C e dz e e z a π = = π − v∫ ＝ 10．证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 2 1 0 C dz z = v∫ 。 证明 当原点在曲线C 内部时， 2 0 1 2 i(1)' | 0 z C dz z = π = = v∫ ；当原点在曲线C 外部时， 2 1/ z 在C 内 解析，故 2 1 0 C dz z = v∫ 。 11．下列两个积分的值是否相等？积分 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？ 1） || 2 z z dz z = v∫ ； 2） || 4 z z dz z = v∫ 解 2 i || 2 0 2i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ； 2 i || 4 0 4i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ，故两个积分的值相等。但不能利用闭路 变形原理从 1）的值得到，因 z z 不是一个解析函数。 12．设区域 D 为右半平面， z 为 D 内圆周| |1 z = 上的任意一点，用在 D 内的任意一条曲线C 连结原 点与 z ，证明 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 证明 函数 2 1 1+ζ 在右半平面解析，故在计算从 0 到 z 沿任意一条曲线C 的积分时与积分路径无 关。则 i 1 2 2 2i 0 00 0 1 1 i 2i cos . 1 1 1 4 2 2cos 2 z e d dx d d x e η θ θ η π η ζ η η ζ η = + =+ + ++ + ∫ ∫∫ ∫ （分子分母同乘以 2i 1 e− η + ）