2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 基础部分 第一课微积分 第8章广义积分阶段综合问题 8.1广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函数在有界区间上的 积分(第2类)。 定义81(第一类广义积分)设函数f(x)在2+∞)内的任意有限区间可积,并且极限 imnf(x)d水x存在,则称f(x)在[a,+0)广义积分收敛其广义积分为 A f(x)x= lim af(x)hx,若不收做则称广义积分发散 A→)+∞ 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可积,并且极限 im2f(x)d存在,则称f(x)在[a,b)上的广义积分收做其义积分为 B→>b rof(xdx= lim of(x)da B→b 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: oo f(x)dx= lim 4 f(x)dx A→>-0 rof(x)dx=lim f(x)dx A→a 82收敛性的判断准则 821第一类广义积分收敛性的判断准则 准则8.1若第一类广义积分 f(x)ldx收做则f(x)dx-定收此时 称 x)ax绝对收敛 当力f(x)Qx收做,而f(x)d方发歉时称广义积分条件收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -1-清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 8 章 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函数在有界区间上的 积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积,并且极限 ∫ 存在, 则称 →+∞ A a A lim f (x)dx f (x) 在[a,+∞)广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx ，若不收敛,则称广义积分发散。 定义8.2 (第二类广义积分)设函数 f (x) 在[a,b)内的任意有限闭子区间可积, 并且极限 ∫ → − B a B b lim f (x)dx存在, 则称 f (x) 在[a,b)上的广义积分收敛,其广义积分为 ∫ ∫ → − = B a B b b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ →−∞ −∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , ∫ ∫ 。 → + = b A A a b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 ∫ +∞ a f (x)dx 一定收敛, 此时 称 ∫ 绝对收敛. +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785