005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 准则8.2(比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 dg(x)x收敛,∫(x)x一定收敛;若∫(x)dx发散 g(x)dx-定发散 准则8.3设f(x),g(x)[a,+0)内的任意有限区间可积,g(x)非负,且 ,则 X→)+∞ gx )当≠O时,广义积分f(x)dx与8(x)dx有相同的敛散性 )当=0时,广义积分8(x)dx收敛则[f(x)dx收敛 当几=∞时,广义积分f(x)dx收敛则g(x)dx收敛 准则84∫一ndx(a>0当P>1时收敛:当p≤1时发散因此,若 limx"f(x)=λ≥0,且Pp>1则∫f(x)dx收敛 x→)+∞ XInx 例81判断x。x的收敛性 x3+1 nx 解:由Im =0,存在X>0,使得当x>X>0时,1nx<x X→)+ √x xinx Xix >1,由直接比较法,收斂 x3+1 x°+1 + arctan x 例8.2判断 dx的收敛性 x√x2+x+1 解:与∫2比较由极限比较法收敛 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 准 则 8.2 (比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 ∫ 收 敛 , 一定收 敛 ; 若 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 发 散 , ∫ 一定发散. +∞ a g(x)dx 准 则 8.3 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有限区间可积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0时, 广义积分 ∫ 与 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 有相同的敛散性; (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 收敛; (3) 当λ = ∞时, 广义积分 ∫ 收敛则 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 收敛. 准则 8.4 dx x a p ∫ +∞ 1 (a > 0) 当 p > 1时收敛;当 p ≤1时发散.因此，若 lim ( ) = ≥ 0,且 ,则 →+∞ x f x λ p x p > 1 ∫ +∞ a f (x)dx 收敛。 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 解: 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x < x ， 1 6 7 , 1 1 ln 5 3 5 = > + < + p x x x x x x ，由直接比较法，收敛. 例 8.2 判断 dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 的收敛性. 解: 与 dx x ∫ +∞ 1 2 1 比较，由极限比较法，收敛. 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785