Vol.28 No.6 肖望强等：双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 573。 置有关.因为弯曲应力取决于弯矩，所以需要同 E= 时考虑载荷及弯曲力臂.在齿顶啮合时，弯曲力 臂最大，但由于重合度e>1,所传递的载荷由两 ++小最-a。 对齿承担，故此时弯矩并不一定最大.在单齿啮 (17) 合区上界点啮合时弯曲力臂虽较齿顶啮合时小， 式(17)中，r1,r2分别是小齿轮和大齿轮的分度 但载荷最大，为所传递载荷的全部，故此时弯曲力 圆半径；r2,b2分别是大齿轮工作齿侧齿顶圆直 臂也可能最大).由于齿轮在啮合过程中是由双 径和基圆直径.将rE代到式14)可求得P进而 齿啮合到单齿啮合再到双齿啮合，本文主要研究 可以求得E点的坐标 在一些特殊点时的情况如图4所示. 4 实例计算及分析 K 双压力角非对称与对称齿轮的几何参数可见 双齿 双齿 表L,弹性模量为1.96×10MPa泊松比025. 合 碱合 当齿轮的传递功率P=45kW,齿轮转速n= 单齿做合区 1000rmin,齿宽b=30mm时，应用ANSYS 软件对所建立的两种模型进行分析.图5中的 B D 响介线位移，s AN 图4刚度变化曲线 Fig.4 Stiffness transformation curve 图4中，Na,N2a为工作齿侧极限啮合点，A 点是工作齿侧双齿啮入点，B点是工作齿侧单齿啮 合上界点，C点是工作齿侧节点，D点是工作齿侧 单齿啮合下界点，E点是工作齿侧双齿啮出点， 0.208406123.733247.259370.784494309 61971185.496309.021432546556.071 设啮合点M处的载荷角为M,由图1可推 导出 N Py=arccos -inv /hd arccos rM) (14) 式中，ru是非对称齿轮工作齿侧基圆半径，rM是 啮合点处的向径 轮齿的模型是通过齿廓曲线方程和齿根过渡 0.180921114997229814344.63459447 曲线方程求出齿廓曲线和齿根过渡曲线上点的坐 37589172.4028722240203851655 标建立的，因此对于双齿啮合上界点A和节点C 所对应的r4和rc比较容易求出. C AN 单齿啮合上界点B的压力角经推导得： ag=arctan g一 (15) 将g代到式(1)中可求得B点坐标和rB,再代到 (12)中可求得9g 单齿啮合下界点D的压力角经推导得： 0.0449,2748254916382352509.788 o=ardan o-2红(e- 63.76219,198318634446.07573500 (16) 图5非对称齿轮在特殊啮合点B(a),C(,和D(c)的应力云图 式中，为非对称齿轮重合度.将代到式(1)中 Fig.5 Distribution of stress of an unsymmetric gear at special 可求得D点坐标和rD,再代到式(14)中可求得9o mesh points:(a)mesh point B;(b)mesh point C:(c)mesh 双齿啮合下界点E的向径经推导得： point D置有关.因为弯曲应力取决于弯矩, 所以需要同 时考虑载荷及弯曲力臂.在齿顶啮合时, 弯曲力 臂最大, 但由于重合度 εa >1, 所传递的载荷由两 对齿承担, 故此时弯矩并不一定最大.在单齿啮 合区上界点啮合时弯曲力臂虽较齿顶啮合时小, 但载荷最大, 为所传递载荷的全部, 故此时弯曲力 臂也可能最大[ 7] .由于齿轮在啮合过程中是由双 齿啮合到单齿啮合再到双齿啮合, 本文主要研究 在一些特殊点时的情况, 如图 4 所示. 图 4 刚度变化曲线 Fig.4 Stiffness transformation curve 图 4 中, N1d, N2d为工作齿侧极限啮合点, A 点是工作齿侧双齿啮入点, B 点是工作齿侧单齿啮 合上界点, C 点是工作齿侧节点, D 点是工作齿侧 单齿啮合下界点, E 点是工作齿侧双齿啮出点 . 设啮合点 M 处的载荷角为 φM , 由图 1 可推 导出 φM =arccos r bd rM -invαΔd +inv arccos r bd rM ( 14) 式中, r bd是非对称齿轮工作齿侧基圆半径, rM 是 啮合点处的向径 . 轮齿的模型是通过齿廓曲线方程和齿根过渡 曲线方程求出齿廓曲线和齿根过渡曲线上点的坐 标建立的, 因此对于双齿啮合上界点 A 和节点C 所对应的rA 和 rC 比较容易求出. 单齿啮合上界点 B 的压力角经推导得: αB =arctan tgαad - 2π z ( 15) 将 αB 代到式( 1) 中可求得 B 点坐标和 rB , 再代到 ( 12) 中可求得 φB 单齿啮合下界点 D 的压力角经推导得: αD =arctan tgαad - 2π( εf -1) z ( 16) 式中, εf 为非对称齿轮重合度.将 αD 代到式( 1)中 可求得 D 点坐标和 rD,再代到式( 14)中可求得 φD . 双齿啮合下界点 E 的向径经推导得: rE = 1 +r 2 1 + 2r 1 r 2 [ r 2 2 -r 2 b2 - ( r 2 2 -r 2 b2)( r 2 a2-r 2 b2)] ( 17) 式( 17)中, r 1, r 2 分别是小齿轮和大齿轮的分度 圆半径 ;r a2, r b2分别是大齿轮工作齿侧齿顶圆直 径和基圆直径 .将 rE 代到式( 14)可求得 φE 进而 可以求得 E 点的坐标. 图5 非对称齿轮在特殊啮合点 B( a) , C( b) 和 D(c) 的应力云图 Fig.5 Distribution of stress of an unsymmetric gear at special mesh points:( a) mesh point B ;( b) mesh point C;( c) mesh point D 4 实例计算及分析 双压力角非对称与对称齿轮的几何参数可见 表 1, 弹性模量为 1.96 ×10 5 M Pa, 泊松比 0.25 . 当齿轮的传递功率 P =45 kW, 齿轮转速 n = 1 000 r·min -1 , 齿宽 b =30 mm 时, 应用 ANSYS 软件对所建立的两种模型进行分析 .图 5 中的 Vol.28 No.6 肖望强等:双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 · 573 ·