学校 S(x)=∑(-1) ,x∈(-1,1) 由于S(0)=0,S(0)=0, 所以S(x)=s"(n)dt dt=arctan x S(x)=L s(tdt= arctan tdt=xarctanx--In(1+x) 又 ∈(-,1) 从而f(x)=2S(x) ,x∈(-1,1) 1+x 【评注】本题求收敛区间是基本题型,应注意收敛区间一般只开区间.而幂级数求和 尽量将其转化为形如∑或∑mx幂级数,再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P225【例8.26】 (17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y=x),点(32)是它的一个拐点,直线l与l2分别是曲线C在 点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 【分析】题设图形相当于已知fx)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及 阶、二阶导数值 【详解】由题设图形知,f(0)=0,f(0)=2;f(3)=2,f(3)=-2,∫"(3)=0 由分部积分,知 f(x)(2x+1)d =16+2[f(3)-f(0=20 【评注】本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖文登学校 10 1 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) , ( 1,1) 1 n n n S x x x x  − − =  = − =  − +  . 由于 S S (0) 0, (0) 0, = =  所以 2 0 0 1 ( ) ( ) arctan , 1 x x S x S t dt dt x t   = = = +   2 0 0 1 ( ) ( ) arctan arctan ln(1 ). 2 x x S x S t dt tdt x x x = = = − +    又 2 1 2 2 1 ( 1) , ( 1,1), 1 n n n x x x x  − = − =  − +  从而 2 2 ( ) 2 ( ) 1 x f x S x x = + + 2 2 2 2 arctan ln(1 ) , ( 1,1). 1 x x x x x x = − + +  − + 【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和 尽量将其转化为形如   n=1 n n x 或   = − 1 1 n n nx 幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.225【例 8.26】 （17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1 l 与 2 l 分别是曲线 C 在 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分  +  3 0 2 (x x) f (x)dx. 【分析】 题设图形相当于已知 f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一 阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) = 2 ; f(3)=2, f (3) = −2, f (3) = 0. 由分部积分，知    +  = +  = +  −  + 3 0 3 0 3 0 2 2 3 0 2 (x x) f (x)dx (x x)df (x) (x x) f (x) f (x)(2x 1)dx = x df x x f x f x dx   − +  = − +  +  3 0 3 0 3 0 (2 1) ( ) (2 1) ( ) 2 ( ) =16 + 2[ f (3) − f (0)] = 20. 【评注】 本题 f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖