Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU (x-5) 其中G(x,t;=,0) 容易验证,G(x,t,5,0)是问题 u, (x1)-a u n(x,1)=0(-∞<x<∝ 的解。 l-n=o(x-5) G(x,t,50)称为一维无源导热问题的基本解(或 Green Function) 显然,只要找到了 Green function,则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义: 在方程为齐次的情况下,在t=0时刻,在x=5处放置一个热量为Q的 点热源,相当于给定初始温度分布≌δ(x-5)因此,G(x,t150)就是在时 刻t=0,在x=5处放置了一个热量为cp的点热源的情况下,在时刻t杆上 的温度分布。因而,它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长,G(x,t,ξ0O)曲线渐趋平坦,即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是,在任一时刻t,杆上的总热量保持不变。即 (x-)2 l(x1)=G(x,t5,0cp5= de 2a√mt 另外, Green function具有性质:G(x,t;5,0)=G(2,t;x,0) 在【<0时,G(x,t;5,0)无意义,这反映了热传导的不可逆性。 G(x,t;5,r) 是 l(x,1)-alu(x,)=0(-∞<x<∞,t>) l-=o(x-5) 的解。 性质:G(x,t;5,r)=G(,;,x,z) G(x,t;5,)=G(x,t-z;x0)Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 2 其中   2 2 4 1 ( , ; ,0) . 2 x G x t e a t a t       容易验证， G(x,t;,0) 是问题                 ( ) ( , ) ( , ) 0 0 2 u  x  u x t a u x t x t t xx 的解。 G(x,t;,0) 称为一维无源导热问题的基本解（或 Green Function）。 显然，只要找到了 Green Function， 则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义： 在方程为齐次的情况下，在 t  0 时刻，在 x   处放置一个热量为 Q 的 点热源，相当于给定初始温度分布 ( ). Q x c     因此， G(x,t;,0) 就是在时 刻 t  0 ，在 x   处放置了一个热量为 c 的点热源的情况下，在时刻 t 杆上 的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长， G(x,t;,0) 曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是，在任一时刻 t ，杆上的总热量保持不变。即   2 2 2 4 ( , ) ( , ; ,0) . 2 x a t c c u x t G x t c d e d e d c a t                             另外，Green Function 具有性质： G x t G t x ( , ; ,0) ( , ; ,0).    在 t  0 时， G(x,t;,0) 无意义，这反映了热传导的不可逆性。 推广：                  a t x e a t G x t 2 2 4 2 1 ( , ; , ) 是                  ( ) ( , ) ( , ) 0 , 2     u x u x t a u x t x t t t xx 的解。 性质： G x t G t x ( , ; , ) ( , ; , ),      G(x,t;,)  G(x,t ; x,0)