Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU Chapter 11积分变换法 、无界空间的有源导热问题- Fourier变换法 定解闻题:/4(~1<3u1、()=/(x1.(-a<x<∞) d-=(x) w-aw=0,(-o0<x< oo)v, -av=f(x, 0),( 00<X<00 Iwo=p(x) x,)=w(x,)+v(x,D 1.一维无源导热问题 v(x)-avx(x,1)=0,( Iwo=p(x) 解:把t看作参数,应用 Fourier变换: i(k,1) (x,1)+>W(k,t) n(x,1)分(ik)i(k,1)=-k2i(k, ,(k,1)+a2k2i(k,1)=0, i0=(k) 解得(k,1)=(k)e- 因为(k)+>以(x), k2t av2m(利用[ e- cos bxdx=1e如, 利用卷积定理,得 V(, t) p() d5=p() p(G(x,t;5,0d5Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 11 积分变换法 一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法 定解问题:   2 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ). t xx t u x t a u x t f x t x u x                  2 2 0 0 0, ( , ), ( ). 0. t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v                               u x t w x t v x t ( , ) ( , ) ( , ).   1．一维无源导热问题   2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t xx t w x t a w x t x w x              解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换: 1 ( , ) ( , ) d ; 2 1 ( , ) ( , ) d . 2 ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k                  w x t w k t ( , ) ( , ),    2 2 ( , ) ( , ) ( , ). w x t ik w k t k w k t xx    2 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t t w k t a k w k t w k          解得 2 2 ( , ) ( ) . a k t w k t k e    因为 ( ) ( ) ~  k  x ， a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1    (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d        ）， 利用卷积定理，得     2 2 2 2 4 4 1 1 1 ( , ) ( ) d ( ) d 2 2 2 ( ) ( , ; ,0)d , x x w x t e e a t a t a t a t G x t                              