第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867· ou=8(a+bi)=i[b/(a+b)]=iob (12) 式中：a= b 因此有定义2： a+b产b=6+c。式(16)表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 定义2设有二元联系数4=a+bi,a∈[0,1]， 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 b∈0,1]，a+b=1,i∈[-1,1，则记 d u=(a+bi)=i[b/(a+b)]=id b (13) 1的含义同式(O,灯0=的含义是程 称式(13)为二元联系数μ=a+bi的一阶偏负联 定当前的b,此前也处在c层次上，是从c层次向 系数。 正方向演化而来，所以用b+c作分母，用b作分 进一步有二元联系数μ的一阶全偏联系数定 子，用分式年。作为正向演化率。由于作为分子 义3： 的b是当前的b,是现在进行时，所以在纳人μ的 定义3设有二元联系数μ=a+bi,(a∈[0,1]， 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映b具有不 be0,1),a+b=1,ie[-1,1],则记 确定性的示性系数i,而同时作为分母中的b,则 μ=8μ+8μ (14) 处在c层次上，与c一样是确定的，所以不用乘i。 称式(14)为二元联系数μ=a+bi的一阶全偏联系 三元联系数的一阶偏负联系数见定义5。 数，其中μ是μ的一阶全偏联系数记号，μ也 定义5设有三元联系数μ=a+bi+c,ae[0,1, 读作μ的一阶正负全偏联系数。 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记4 根据定义3可知： 的一阶偏负联系数为8μ，则 8μ=aμ+8μ=8a+i0b= a+b+atb=atbr a (15) =6r+oi产产6+切 式(15)表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 式(17)表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 表示不确定性的示性系数i,为此，在实际应用时 a中6的含义同式(10)：：的含义是假定当前的 b 需要对ⅰ作出解析才能确定二元联系数所确定的 c,此前也处在b层次，是从b层次负向演化而来，所 演化趋势。 例1试求二元联系数μ=0.6+0.4i的偏正联 以用e做分子，用b+c作分母，用分式作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的c处 系数μ、偏负联系数μ、全偏联系数μ，并判 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数j。 别其在微观层次上的演化趋势。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义6： 解根据定义1和式(15)得μ的偏正联系数： 0.6 定义6设三元联系数H=a+bi+cj,a∈[0,1， 0u=0(a+b0=d广(0.6+0.40=0.4+0.6=0.6 be[0,1,c∈[0,1，a+b+c=1,ie[-1,1],j=-1,其一 根据定义1和式(13)得μ的偏负联系数： 阶偏正联系数为 0.4i b μ=a+b0=0(0.6+0.40=06+04=0.4 O'u=a i a+bb+c 根据定义3和式(14)得μ的全偏联系数 一阶偏负联系数为 8μ=8μ+0μ=8a+8b=0.6+0.4i b 8μ= 当i遍历[-1,1]时，μ遍历[0.2,1]，即当 a+bi+b+ci i=-1时，μ=0.2；当i=1时，μ=1；由于i遍历 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 [-1,1]时，均有产μ≥0，所以二元联系数μ=0.6+ 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为μ， 0.4i时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 则有 23三元联系数的偏联系数 au=8u+8μ= a b b 式(2)所示三元联系数的偏联系数计算原理 a+b+年+a+b> 一+- (18) 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 显然，定义6中的式(18)可以化简成： 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义（见定 义4)0 时u=a+br+bi+cj atb+b+c (19) 定义4设有三元联系数μ=a+bi+cj,a∈0,1]， 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 be0,1),c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记μ 个三元联系数的全偏联系数，则式(19)可以再简 的一阶偏正联系数为8μ，则 写成： dμ=a+i0*b=a b (16) ou=atbi br+cj (20) atb b+c a+b+ b+c∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (12) 因此有定义 2： µ = a+bi a ∈ [0,1] b ∈ [0,1] a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 2 设有二元联系数 ， ， ， ， ，则记 ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (13) 称式 (13) 为二元联系数 µ = a+bi 的一阶偏负联 系数。 进一步有二元联系数 µ 的一阶全偏联系数定 义 3： µ = a+bi (a ∈ [0,1], b ∈ [0,1]) a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 3 设有二元联系数 ， ， ， ，则记 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ (14) µ = a+bi ∂ ±µ µ ∂ ±µ µ 称式 (14) 为二元联系数 的一阶全偏联系 数，其中 是 的一阶全偏联系数记号， 也 读作 的一阶正负全偏联系数。 根据定义 3 可知： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+i∂ − b = a a+b + bi a+b = a+bi (15) i i 式 (15) 表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 表示不确定性的示性系数 ，为此，在实际应用时 需要对 作出解析才能确定二元联系数所确定的 演化趋势。 µ = 0.6+0.4i ∂ +µ ∂ −µ ∂ ±µ 例 1 试求二元联系数 的偏正联 系数 、偏负联系数 、全偏联系数 ，并判 别其在微观层次上的演化趋势。 解 根据定义 1 和式 (15) 得 µ 的偏正联系数： ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = ∂ + (0.6+0.4i) = 0.6 0.4+0.6 = 0.6 根据定义 1 和式 (13) 得 µ 的偏负联系数： ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = ∂ − (0.6+0.4i) = 0.4i 0.6+0.4 = 0.4i 根据定义 3 和式 (14) 得 µ 的全偏联系数： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+∂ − b = 0.6+0.4i i ∂ ±µ i = −1 ∂ ±µ = 0.2 i = 1 ∂ ±µ = 1 i [−1,1] ∂ ±µ ⩾ 0 µ = 0.6+ 0.4i 当 遍历 [−1，1] 时， 遍历 [0.2，1]，即当 时， ；当 时， ；由于 遍历 时，均有 ，所以二元联系数 时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 2.3 三元联系数的偏联系数 式 (2) 所示三元联系数的偏联系数计算原理 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义 (见定 义 4)。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ +µ 定义 4 设有三元联系数 ， ， ， 记 的一阶偏正联系数为 ，则 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (16) ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c b c c b+c b b b+c b b µ b i b c c i 式中： ， 。式 (16) 表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 的含义同式 (6)， 的含义是假 定当前的 ，此前也处在 层次上，是从 层次向 正方向演化而来，所以用 作分母，用 作分 子，用分式 作为正向演化率。由于作为分子 的 是当前的 ，是现在进行时，所以在纳入 的 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映 具有不 确定性的示性系数 ，而同时作为分母中的 ，则 处在 层次上，与 一样是确定的，所以不用乘 。 三元联系数的一阶偏负联系数见定义 5。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ −µ 定义 5 设有三元联系数 ， ， ，记 的一阶偏负联系数为 ，则 ∂ − µ = (∂ − b)i+(∂ − c) j = b a+b i+ c b+c j (17) b a+b c b+c c c b+c c b+c c j 式 (17) 表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 的含义同式 (10)； 的含义是假定当前的 ，此前也处在 b 层次，是从 b 层次负向演化而来，所 以用 做分子，用 作分母，用分式 作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的 处 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数 。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义 6： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 6 设三元联系数 ， ， ， ，其一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = a a+b + b b+c i 一阶偏负联系数为 ∂ − µ = b a+b i+ c b+c j ∂ ±µ 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为 ， 则有 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = a a+b + b b+c i + + b a+b i − + c b+c j (18) 显然，定义 6 中的式 (18) 可以化简成： ∂ ± µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (19) 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 个三元联系数的全偏联系数，则式 (19) 可以再简 写成： ∂µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (20) 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867·