·868· 智能系统学报 第14卷 式(18)、式(19)中仍有示性系数i、j,计算时会遇 定μ的二阶全偏联系数μ简记成子μ，也就是 到示性系数取何值的问题，是否有合适又合理 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 的途径可以消去这个呢？看定义7： 个联系数的某阶全偏联系数。 定义7设有三元联系数μu=a+bi+cj,a∈0,1， 要指出的是，对式(18)所示4的一阶全偏联 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,ie[-1,1,j=-1其一 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式(18) 阶偏正联系数为 中的μ和84相对于4，已处在同一层次，不再 0u=0a+0b=6+ b 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 -i (21) 移”假定作运算，其结果为 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为μ的 8产(a4）=产(aμ+8四= 2阶偏正联系数，记为μ，则 8μ一+ 04=0μ+业=1 a 8μ+dμa*μ+dμμ+0μ P+μ=a(8四）= a+b 22) 这个结果证实了式(18)中的8μ和0μ相对 a b atb*b+c 于4，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 式(22)的物理意义是：式(21)中的a= a 此 的二阶全偏联系数只能采用式(24)。 a+b 例2试求三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j的 前也处在（）层次上.是从汾 二阶偏正联系数+μ、二阶偏负联系数严μ、二阶 层次往正向演化而来，所以用a去除 全偏联系数μ，判别该联系数系统在微观层次 atb a+b 上的演化趋势。 )得到口的二阶偏正演化率产与此类 解按定义7和式(22)得μ的二阶偏正联 似，有μ的二阶偏负演化率严-μ定义（见定义 系数： 8) 0.5 2 定义8设有与定义7中给定的三元联系数4， 82*μ=05 .5+0.3 0.3 49=0.5102 且已知μ的一阶偏负联系数为μ=6+b, 0.5+0.3+0.3+0.2 则有μ的二阶偏负联系数为 按定义8和式(23)得μ的二阶偏负联系数： 0.2 b+c 0.3+0. 16 24=8(8四= -I b (23) 8μ=0.3 0.2j=-7=-0.5161 atb+b+c 0.5+0.3+0.3+02 进一步有定义9。 根据定义9和式(24)得μ的二阶全偏联 定义9设有与定义7中给定的三元联系数 系数： 4,且已知μ的二阶偏正联系数如式(22)所示，二 8μ=*μ+μ=0.5102-0.5161=-0.006 阶偏负联系数如式(23)所示，则其二阶全偏联系 所以三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j系统在微 数2±u如式(24)所示： 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 a b 2.4四元联系数的偏联系数 P+μ=+μ+Pμ= a+b a+b 式(3)所示四元联系数的偏联系数计算原理 a b+ b a+bb+c atb*b+c 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： a b a+b a+b 定义8中设四元联系数u=a+bi+cj+dk, b- (24) a b a∈[0,1]，be0,1],c∈[0,1]，d∈[0,1]，a+b+c+d=1, a+bb+c a+bb+c ie[0,1,j∈-1,0]，k=-1,则记μ的一阶偏正联系 显然，式(24)是一个没有示性系数i的实数，其物 数为0μ，即 理意义是：当Pμ>0时，表明三元联系数μ的系 o'u=oa+io*b+jo'c (25) 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 其中ra=a 严+μ<0时，表明三元联系数μ的系统在微观层次 b:0b=,b c.d'e=c c+d记μ的二阶 偏正联系数为+4，则 上的演化趋势是负向趋势；当P+μ=0时，表明三 82+μ=0(a四=8*(8a+i8b+j*c)= 元联系数μ的系统在微观层次上的演化趋势处在 d'a 正负临界状态。 a+b*b+oci (26) 参照式(19)对式(18)的简写做法，这里也约 记μ的三阶偏正联系数为μ，则i、j i i 式 (18)、式 (19) 中仍有示性系数 ，计算时会遇 到示性系数 取何值的问题，是否有合适又合理 的途径可以消去这个 呢？看定义 7： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈[0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 7 设有三元联系数 ， ， ， 其 一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (21) µ ∂ 2+µ 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为 的 2 阶偏正联系数，记为 ，则 ∂ 2+ µ = ∂(∂ + µ) = a a+b a a+b + b b+c (22) ∂ +a ( = a a+b ) i∂ +b ( = b b+c ) i∂ +b ( = b b+c ) a a+b ( a a+b + b b+c ) µ ∂ 2+µ µ ∂ 2−µ 式 (22) 的物理意义是：式 (21) 中的 此 前也处在 层次上，是从 层次往正向演化而来，所以用 去除 ，得到 的二阶偏正演化率 。与此类 似，有 的二阶偏负演化率 定义（见定义 8）。 µ µ ∂ −µ = b a+b i+ c b+c j µ 定义 8 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ， 且已知 的一阶偏负联系数为 ， 则有 的二阶偏负联系数为 ∂ 2− µ = ∂ − (∂ − µ) = c b+c b a+b + c b+c j (23) 进一步有定义 9。 µ µ ∂ 2±µ 定义 9 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ，且已知 的二阶偏正联系数如式 (22) 所示，二 阶偏负联系数如式 (23) 所示，则其二阶全偏联系 数 如式 (24) 所示： ∂ 2± µ =∂ 2+ µ+∂ 2− µ = a a+b a a+b + b b+c + b a+b b a+b + c b+c j = a a+b a a+b + b b+c − b a+b b a+b + c b+c (24) i ∂ 2±µ > 0 µ ∂ 2±µ < 0 µ ∂ 2±µ = 0 µ 显然，式 (24) 是一个没有示性系数 的实数，其物 理意义是：当 时，表明三元联系数 的系 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表明三元联系数 的系统在微观层次 上的演化趋势是负向趋势；当 时，表明三 元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势处在 正负临界状态。 参照式 (19) 对式 (18) 的简写做法，这里也约 µ ∂ 2±µ ∂ 2 定 的二阶全偏联系数 简记成 µ ，也就是 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 个联系数的某阶全偏联系数。 µ ∂ +µ ∂ −µ µ 要指出的是，对式 (18) 所示 的一阶全偏联 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式 (18) 中的 和 相对于 ，已处在同一层次，不再 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 移”假定作运算，其结果为 ∂ ± (∂ ± µ) = ∂ ± (∂ + µ+∂ − µ) = ∂ +µ ∂ +µ+∂ −µ + ∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = ∂ +µ+∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = 1 ∂ +µ ∂ −µ µ 这个结果证实了式 (18) 中的 和 相对 于 ，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 的二阶全偏联系数只能采用式 (24)。 µ = 0.5+0.3i+0.2 j ∂ 2+µ ∂ 2−µ ∂ 2±µ 例 2 试求三元联系数 的 二阶偏正联系数 、二阶偏负联系数 、二阶 全偏联系数 ，判别该联系数系统在微观层次 上的演化趋势。 解 按定义 7 和式 (22) 得 µ 的二阶偏正联 系数： ∂ 2+ µ = 0.5 0.5+0.3 0.5 0.5+0.3 + 0.3 0.3+0.2 = 25 49 = 0.510 2 按定义 8 和式 (23) 得 µ 的二阶偏负联系数： ∂ 2− µ = 0.2 0.3+0.2 0.3 0.5+0.3 + 0.2 0.3+0.2 j = − 16 31 = −0.516 1 根据定 义 9 和 式 (24) 得 µ 的二阶全偏联 系数： ∂ 2± µ = ∂ 2+ µ+∂ 2− µ = 0.510 2−0.516 1 = −0.006 所以三元联系数 µ = 0.5+0.3i+0.2 j 系统在微 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 2.4 四元联系数的偏联系数 式 (3) 所示四元联系数的偏联系数计算原理 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： µ = a+bi+c j+dk a ∈ [0,1],b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],d ∈ [0,1], a+b+c+d = 1, i ∈ [0,1], j ∈ [−1,0], k = −1 µ ∂ +µ 定 义 8 中设四元联系数 ， ，则记 的一阶偏正联系 数为 ，即 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c (25) ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d µ ∂ 2+µ 其中 ，记 的二阶 偏正联系数为 ，则 ∂ 2+ µ =∂ + (∂ + µ) = ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i (26) µ ∂ 3+ 记 的三阶偏正联系数为 µ ，则 ·868· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷