如果在其中合|B〉=|)，我們就发現数〈A|A〉应該是实数.我 們作进一步的假定，除！A〉=0时外， 〈A|A〉>0 (8) 在普通的空間中，我們能从任意两个矢量得出一个数—它 們的标量积一它是个实数，在两个矢量之間是对称的.在左矢 量的空間中，或者在右矢量的空間中，我們从任意两个矢量也能得 到一个数一它們中的一个与另一个的共軛虚量的标量积一一但 是这个数是个复数，并且当两个矢量对换时，这个数要变成它的共 軛复数。于是在这种空間里也有一种正交性，它是普通空間中的 正交性的推广，如果一个左矢量与一个右关量的标量积为零，我 們就称它們为互相正交的，如果一个右矢量（或左矢量）与另一右 矢量（或左矢量）的共軛虚量的标量积为零，則我們就称这两个右 矢量（或两个左矢量）是正交的.进一步，如果相应于力学系統的 两个态的两个矢量（左矢量或右矢量）是正交的，我們就說这两个 态是正交的. 左矢量〈A,或其共轭虚右矢量|A)的长度定义为〈A川4)这个 正数的平方根.当我們有一态，而希望建立一个左矢或右矢与之 相应时，这时只是这个矢量的方向是已知的，这个矢量本身则还 差一个数字因子未决定.选择这个数字因子使矢量的长度为1常 常是方便的.这个程序就称为归一化，而如此选择的矢量称为已归 一化的.即合如此，这矢量还未完全决定，因为我們还能用模量为1 的任何复数乘它而不会改变其长度，也卸能用形式的任意数去 乘它而不会改变其长度，其中Y是实数。我們称这个数为相因子， 上远諾假定給出了力学系统在特定时刻的各态之間的关系的 完全方案.这些关系表現为数学形式，但它們包含着物理条件，当 理論进一步发展时，这些物理条件将引出許多結果，可用观察而得 的知藏表示出来.举例說，如果两个态是正交的，目前它只是簡单 地意味着在我們的公式里的某一方程，但这个方程包含着两个态 之間存在有某种肯定的物理关系，理論的进一步发展将使我們能 用許多观察秸果来解释这种物理关系（参看§10）. 。20