n=(6,-2,-3):又直线L与L相交，则其方向向量s、5与向量M,=(-2,3-句共面，其中 M1,-1,3)为直线L上一点.因此s垂直于向量 i方k 号×MA=32-=(6,28,13). -23-6 故可取 方 s=n×(8×M。)=6-2-3=292,-3,6, 32813 故+1=一2=+3为所求直线L的方程 解法3过点A作平行于的平面 元：6(x+)-20y-2)-3:+3)=0, 因直线L过点4(-1,2，-3)，且平行于平面：，故直线L在元上，即在平面 6x-2y-3z+1=0 上.由于点A不在L上，故由点A和L可确定一个平面元，又因为直线L与L相交，所以 L在元上，即石与的交线为L.由于，经过1上的点M,L,-山，3)，又石的法向量m既 垂直于直线L,的方向向量s=(3,2,-5),又垂直于向量M=(-2,3,6),因此 %=鸟×MA=32 =(3,28,13) -23-6 所以平面元的方程为 3(x-1)+28y+1)+13:-3)=0 元：3x+28y+13z-14=0. 故所求直线L的方程为6-2-+1=0 13x+28y+13z-14=0 例19来点M-0到直线L-2,)0的距真 分析作过点M。且垂直于直线L的平面x,然后求出平面π与直线L的交点M,则 所求距离d=MM或者用点到直线的距离公式 n = − − (6, 2, 3) ；又直线 L 与 L1 相交，则其方向向量 s 、 1 s 与向量 0 M A = − − ( 2,3, 6) 共面，其中 0 M (1, 1,3) − 为直线 L1 上一点．因此 s 垂直于向量 s1 0  M A 3 2 5 2 3 6 = − − − i j k = (3,28,13) , 故可取 1 0 s n s =   ( ) M A 623 3 28 13 = − − i j k = − 29(2, 3,6) , 故 1 2 3 2 3 6 x y z + − + = = − 为所求直线 L 的方程． 解法 3 过点 A 作平行于  的平面  1： 6( 1) 2( 2) 3( 3) 0 x y z + − − − + = ， 因直线 L 过点 A( 1, 2, 3) − − ，且平行于平面  ，故直线 L 在  1 上，即在平面 6 2 3 1 0 x y z − − + = 上．由于点 A 不在 L1 上，故由点 A 和 L1 可确定一个平面  2 ，又因为直线 L 与 L1 相交，所以 L 在  2 上，即  1 与  2 的交线为 L ．由于  2 经过 L1 上的点 0 M (1, 1,3) − ，又  2 的法向量 n2 既 垂直于直线 L1 的方向向量 1 s = − (3,2, 5) ，又垂直于向量 0 M A = − − ( 2,3, 6) ，因此 n s 2 1 0 =  M A 3 2 5 2 3 6 = − − − i j k = (3,28,13) ， 所以平面  2 的方程为 3( 1) 28( 1) 13( 3) 0 x y z − + + + − = ， 即 2  : 3 28 13 14 0 x y z + + − = ． 故所求直线 L 的方程为 6 2 3 1 0 3 28 13 14 0 x y z x y z  − − + =   + + − = ． 例 19 求点 0 M (1, 1,0) − 到直线 2 3 3 0 : 0 y z L x y  − − =   − = 的距离． 分析 作过点 M 0 且垂直于直线 L 的平面  ，然后求出平面  与直线 L 的交点 M1 ，则 所求距离 0 1 d M M = 或者用点到直线的距离公式