我们再证明两个最大公因数的性质，即 定理5设a,b是任意两个不全为零的整数，(i)若m是任 一正整数，则 (am,bm)=(a,b)m 国若6是a6的任一公因数，则号号-P,特别 h (a,b'(a,b)=1 证当a,b有一为零时，定理显然成立，今设a,b都不为零 ()由定理1，(am,bm)=(|am,|b1m),(a,b)m=(Ia, |b1)m.因此不妨假定a,b都是正数在(1)里，把各式两边同乘 以m,即得 am bm)q+rm,0<r m<bm, bm=(片m)+nm,0<5m<片m, . ra-1m=（ram)qa+1 由定理4得(am,bm)=nm=(a,b)m,因而(i)获证. (i)由(i)及定理1， 号号1=1,11=01.1=(a,. 号名-0 δ a h 当8=(a,)时，上式即为(a6(a6=1. 证完 现在来研究两个以上整数的最大公因数由定理1及2我们 不妨假设a,a,.,a.是任意n个正整数令 (a1,)=d,(d,a)=d,.,（dn.1,a)=dn.(2) 于是我们有 定理6若a1,.,an是n个整数，则(a,a,.,an)= d. ·8· 我们再证明两个最大公因数的性质,即 定理 5 设 a, b 是任意两个不全为零的整数, (i) 若 m 是任 一正整数,则 ( am , bm) = ( a, b) m . (ii) 若 δ是 a, b 的任 一公因数, 则 a δ , b δ = ( a, b) |δ| , 特 别 a ( a, b) , b ( a, b) = 1 . 证 当 a, b 有一为零时, 定理显然成立,今设 a, b 都不为零 . (i) 由定理 1, ( am , bm) = ( | a | m , | b | m ) , ( a, b) m = ( | a | , | b | ) m .因此不妨假定 a, b 都是正数 .在 ( 1 )里, 把各式两边同乘 以 m , 即得 am = ( bm ) q1 + r1 m , 0 < r1 m < bm , bm = ( r1 m) q2 + r2 m , 0 < r2 m < r1 m , . rn - 1 m = ( rn m) qn + 1 . 由定理 4 得( am , bm ) = rn m = ( a, b) m ,因而 (i)获证 . (ii) 由(i)及定理 1 , a δ , b δ |δ| = | a | |δ| |δ| , | b | |δ| |δ| = ( | a | , | b | ) = ( a, b) , 故 a δ , b δ = ( a, b) |δ| . 当 δ= ( a, b) 时,上式即为 a ( a, b) , b ( a, b) = 1 . 证完 现在来研究两个以上整数的最大公因数 .由定理 1 及 2 我们 不妨假设 a1 , a2 ,., an 是任意 n 个正整数 .令 ( a1 , a2 ) = d2 , ( d2 , a3 ) = d3 ,., ( dn - 1 , an ) = dn . ( 2) 于是我们有 定理 6 若 a1 , a2 , ., an 是 n 个整数, 则 ( a1 , a2 , ., an ) = dn . · 8 ·