证由(2)，d|an,dn|dn1.但dn1|a1,dn.1|da2,故 da.,dd.2由此类推，最后得到d|a,d|a1,., dn|a,即dn是a,.,a的一个公因数又设d是a,., a的任一公因数，则da,d小&，由推论4.1，d川d,同样由推论 4.1,d川d,由此类推，最后得d|dn因而d≤|d|≤d故dn是 a,.,an的最大公因数 证完 习题 1.证明推论4.1 2.应用§1习题3证明(a,b)=ax+b,其中axo+b%是形如ax+ y(x,y是任意整数)的整数里的最小正数，并将此结果推广到n个整数的 情形 3.应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法 试用你所说的求法及辗转相除法实际算出(76501,9719) ·4.证明本节()式中的≤竖 §3整除的进一步性质及最小公倍数 在上节中我们看到了辗转相除法在研究最大公因数的过程中 的重要性在这一节里我们要研究上节(1)式中与a、b的关系， 由此可以得出关于整除的进一步性质此外，在本节里面还要讨论 到最小公倍数及其重要的性质 由上节，设a、b是任意两个正整数，则可以得到下列诸等式： a=bg+n,0<n<b, b=n92+n,0<n<n 中年00000 (1) -1=作g+1+m+1,0<+1<作， 00000 n.1=mqm+1. ·9证 由 ( 2 ) , dn | an , dn | dn - 1 .但 dn - 1 | an - 1 , dn - 1 | dn - 2 , 故 dn | an - 1 , dn | dn - 2 .由 此 类 推, 最 后 得 到 dn | an , dn | an - 1 , ., dn | a1 ,即 dn 是 a1 , a2 ,., an 的一个公因数 .又设 d 是 a1 , a2 , ., an 的任一公因数, 则 d | a1 , d | a2 , 由推论 4.1, d | d2 , 同样由推论 4.1, d | d3 ,由此类推, 最后得 d | dn .因而 d≤ | d | ≤ dn .故 dn 是 a1 , a2 , ., an 的最大公因数 . 证完 习 题 1. 证明推论 4.1 . 2. 应用§1 习题 3 证明 ( a, b) = ax0 + by0 , 其中 ax0 + by0 是形如 ax + by ( x , y 是任意整数 )的整数里的最小正数 ,并将此结果推广到 n 个整数的 情形 . 3. 应用§1 习题 4 证明任意两整数的最大公因数存在 , 并说明其求法 . 试用你所说的求法及辗转相除法实际算出 (76501 ,9719) . * 4. 证明本节 (1) 式中的 n≤ 2log b log2 . §3 整除的进一步性质及最小公倍数 在上节中我们看到了辗转相除法在研究最大公因数的过程中 的重要性 .在这一节里我们要研究上节( 1) 式中 rk 与 a、b 的关系, 由此可以得出关于整除的进一步性质 .此外, 在本节里面还要讨论 到最小公倍数及其重要的性质 . 由上节,设 a、b 是任意两个正整数,则可以得到下列诸等式: a = bq1 + r1 , 0 < r1 < b, b = r1 q2 + r2 ,0 < r2 < r1 , . rk - 1 = rk qk + 1 + rk + 1 , 0 < rk + 1 < rk , . rn - 1 = rn qn + 1 . ( 1) · 9 ·