(2)当4=m=时,这两条直线平行 12n2 (3)若=m=,且两条直线有一个公共点,则这两条直线重合。 例621求直线x1=22=计+和直线{+y-1=0,的夹角 y +2=0 解直线 -2z+1 4=1的方向向量可取为 v1=(1,-4,1);直线 的方向向量可取为 +2=0 i+2j+k 利用直线与直线交角余弦计算公式得 1×(-2)+(-4)×2+1 因此,这两条直线的夹角为=z 三.平面与直线的交角 直线与平面的交角是直线与它在平面上的垂直投影所夹的角θ(通常取 0≤b≤ 见图628) 设平面方程为 Axt By c=tD=0 直线方程为 x-xo y-yo 那么它们的交角θ(0≤≤)满足 I A1+Bm + Cn sin 6= cos A2+B2+C2·、12 图628 特别地 (1)当4=B=C时,平面与直线垂直 (2)当A+Bm+Chn=0时,平面与直线平行; (3)若Al+Bm+Chn=0,且平面与直线有一个公共点,则直线属于平面。 例6.2.12求平面x+y+x-3=0和直线x-2y+2 的位置关系。 解由于给定直线与平面的夹角的正弦为 sin 0= 1×3+1×1+1×(-4) 0 12·√32+12+(（2）当 2 1 2 1 2 1 n n m m l l   时，这两条直线平行； （3）若 2 1 2 1 2 1 n n m m l l   ，且两条直线有一个公共点，则这两条直线重合。 例 6.2.11 求直线 1 1 4 2 1 1      x  y z 和直线          2 2 0 1 0, y z x y 的夹角。 解 直 线 1 1 4 2 1 1      x  y z 的 方 向 向 量 可 取 为 (1, 4, 1) v1   ；直线          2 2 0 1 0, y z x y 的方向向量可取为 i j k i j k v       2 2 0 1 2 2 1 1 0 。 利用直线与直线交角余弦计算公式得 cos  2 2 2 2 2 2 1 ( 4) 1 ( 2) 2 1 |1 ( 2) ( 4) 2 1 1|               = 2 1 ， 因此，这两条直线的夹角为  = 4  。 三．平面与直线的交角 直线与平面的交角是直线与它在平面上的垂直投影所夹的角  （通常取 2 0     ，见图 6.2.8）。 设平面方程为 A x+ B y+ C z + D = 0， 直线方程为 n z z m y y l x x0 0  0     ， 那么它们的交角  （ 2 0     ）满足 2 2 2 2 2 2 | | sin | cos | A B C l m n A l Bm Cn            。 特别地， （1）当 n C m B l A   时，平面与直线垂直； （2）当 Al  Bm Cn  0 时，平面与直线平行； （3）若 Al  Bm Cn  0 ，且平面与直线有一个公共点，则直线属于平面。 例 6.2.12 求平面 x  y  z 3  0 和直线 4 3 1 2 3 2      x  y z 的位置关系。 解 由于给定直线与平面的夹角的正弦为 0 1 1 1 3 1 ( 4) |1 3 1 1 1 ( 4) | sin 2 2 2 2 2 2                ， n v   图 6.2.8