五.交角 平面与平面的交角 空间中两张平面的交角就是它们的法向量的交角θ(通常取0≤≤x)。因 此,设两张平面的方程为 A1x+B1y+C1=+D1=0 2y+C2+D2=0 那么它们的交角O就是它们的法向量m1(A1,B,C1)和n2(A2,B2,C2)的交角或补 角,即 cos0=In, n,I/4, A,+B,B2+C,C2I n1‖n A2+B2+C2·√42+B2+C2 特别地, (1)当A1A2+B1B2+CC2=0时,这两张平面垂直 (2)当=B=C≠D时,这两张平面平行 B2 D2 (3)当= B 4=B.==n时,这两张平面重合 例6.2.10求平面x-y+2-3=0和2x+y+z+1=0的夹角 解此时n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1),于是由平面与平面交角余弦计算公式 coS =-12x2+(-1)×1+2×ll 因此,这两张平面的夹角为=x 二.直线与直线的交角 与平面与平面情况类似,空间中两条直线的交角就是它们的方向向量的交角 6(通常取0≤6≤)。设两条直线的方程为 x-x y-y x2 y=y2 那么它们的交角0(0≤0≤z)满足 0=12+m, m2+ni,"2 +m,+n 特别地, (1)当1l2+mm2+m1n2=0时,这两条直线垂直;五．交角 一．平面与平面的交角 空间中两张平面的交角就是它们的法向量的交角  （通常取 2 0     ）。因 此，设两张平面的方程为 A1 x  B1 y C1 z  D1  0 和 A2 x  B2 y C2 z  D2  0， 那么它们的交角  就是它们的法向量 ( , , ) n1 A1 B1 C1 和 ( , , ) n2 A2 B2 C2 的交角或补 角，即 cos    || || || || | | 1 2 1 2 n n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | A B C A B C A A B B C C        。 特别地， （1）当 A1A2  B1B2 C1C2  0 时，这两张平面垂直； （2）当 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A    时，这两张平面平行； （3）当 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A    时，这两张平面重合。 例 6.2.10 求平面 x  y  2z 3  0 和 2x  y  z 1 0 的夹角。 解 此时 (1, 1, 2) n1   ， (2, 1, 1) n2  ，于是由平面与平面交角余弦计算公式 得 2 1 1 ( 1) 2 2 1 1 |1 2 ( 1) 1 2 1| cos 2 2 2 2 2 2                ， 因此，这两张平面的夹角为 3    。 二．直线与直线的交角 与平面与平面情况类似，空间中两条直线的交角就是它们的方向向量的交角  （通常取 2 0     ）。设两条直线的方程为 1 1 1 1 1 1 n z z m y y l x x      和 2 2 2 2 2 2 n z z m y y l x x      ， 那么它们的交角  （0≤  ≤ 2  ）满足 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | cos l m n l m n l l m m n n          。 特别地， （1）当 l 1 l 2  m1m2  n1n2  0 时，这两条直线垂直；