用分量表示,就是 ds|4(x'-x0)+B(y-) +C(z-2 A2+B2+C2 由于 -(Axo Byo + C=o) 因此 d Ax +By +C= +DI A-+B+C 这就是点P(x,y,z)到平面Ax+B+Cx+D=0的距离的计算公式。当 P(x,y,z)在该平面上时,显然有d=0 例6.2.8求点(2,1,-1)与平面2x-3y-6z+1=0的距离。 解这时P=(2,1,-1),(AB,C)=(2,-3,-6),由点到平面距离的计算公式 得 d=12×2+(-3)×1+(-6)×(-1)+1l8 再考虑点到直线的距离。设直线L的方程为 xo y-Vo 连接空间一已知点P(x,y,z)和直线L上的点P(x,y0,=0)。直线的方向向量为 v(,m,n),因此单位方向向量为v="。由图627中可以看出,点P到直线 的距离d是以PP和v为邻边的平行四边形的底边v上的高,由外积的几何意 义,图627中的平行四边形的面积 S=d‖vo‖丬fP×vo‖ 于是点P(x,y,z)到直线的距离公式为 d圳fP×vo‖ d 例6.2.9求点(5,-2,3)与直线 的距离 解这时P=(5,-2,3),P=(,-1,0),则 PP=(5,-2,3)-(1,-1,0)=(4,-1,3) 图627 而v=(,2,3),v= (1,2,3),因此 所以距离为 ld=‖ PPxy| 14用分量表示，就是 2 2 2 0 * 0 * 0 * | ( ) ( ) ( ) | A B C A x x B y y C z z d         ， 由于 ( ) D   Ax0  By0  Cz0 ， 因此 d = 2 2 2 * * * | | A B C Ax By Cz D      ， 这 就 是 点 ( , , z ) * * * P x y 到平面 Ax  By Cz  D  0 的 距 离 的 计 算 公 式 。 当 ( , , z ) * * * P x y 在该平面上时，显然有 d = 0 。 例 6.2.8 求点 (2, 1, 1) 与平面 2x -3y -6z + 1 = 0 的距离。 解 这时 P  (2, 1, 1) ，(A,B,C)  (2, 3,  6) ，由点到平面距离的计算公式 得 d = 2 2 2 2 ( 3) ( 6) | 2 2 ( 3) 1 ( 6) ( 1) 1|              = 7 8 。 再考虑点到直线的距离。设直线 L 的方程为 n z z m y y l x x0 0  0     ， 连接空间一已知点 ( , , z ) * * * P x y 和直线 L 上的点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 。直线的方向向量为 v(l,m,n) ，因此单位方向向量为 v 0  || v || v 。由图 6.2.7 中可以看出，点 P 到直线 的距离 d 是以 P0P 和 0 v 为邻边的平行四边形的底边 0 v 上的高，由外积的几何意 义，图 6.2.7 中的平行四边形的面积 || || 0 S  d v || || 0 0  P Pv ， 于是点 ( , , z ) * * * P x y 到直线的距离公式为 || || 0 0 d  P P v 。 例 6.2.9 求 点 (5,  2, 3) 与直线 2 3 1 1 x 1 y z     的距离。 解 这时 P  (5,  2, 3)， (1, 1, 0) P0   ，则 P0P =(5,  2, 3)  (1, 1, 0)  (4, 1, 3)。 而 v  (1, 2, 3)，   || || 0 v v v 14 1 (1, 2, 3) ，因此 P0P v0  14 1 1 2 3 4 1 3 i j k 14 9   (1, 1, -1)， 所以距离为 || d || P0Pv0 || 14 9 3 。 P d P0 v0 图 6.2.7