(A1x+B1y+C1=+D1)+(A2x+B2y+C2 表示一张平面如°显然,满足L的一般方程的点(x,y,-)一定满足平面x的方 程,所以平面π通过直线L。于是,对于不同的不同时为零的数对A,p, (A1x+B1y+C1=+D1)+(42x+B2y+C2+D2)=0 就确定了一族通过L的平面,它称为通过L的平面的平面束,以上方程也称为通 过L的平面束方程。 显然确定平面束中一张平面,只要确定λ与μ的比值,因此也常将通过L的 平面束方程写成 A1x+B1y+C1=+D1+k(A2x+B2y+C2+D2)=0 (注意这个束中不包含平面A2x+B2y+C2+D2=0),或 k(Ax+ B D1)+A2x+B2y+C2=+D2=0 (注意这个束中不包含平面A1x+B1y+C1=+D=0) 另外,方程 Ax By+C=+1=0 确定一张平面丌,而当λ取不同值时,就得到一族相互平行的平面的方程。因 此上式也称为平行平面束方程。 例627过点(1L.D和直线L:3x-y+2+2=0 的平面方程 解设所求通过L的平面方程为 3x-y+2=+2+k(x-2y+3x-5)=0。 它通过(,1,1)点,所以将该点的坐标代入上式得 6-3k=0 所以k=2。于是,所求的平面方程为 3x-y+2+2+2(x-2y+3-5)=0 5x-5y+8-8=0 四.点到平面、直线的距离 平面解析几何中讨论了某一平面上的点到直线的距离问题,现在我们将它推 广到空间。 先考虑点到平面的距离。设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0。 过空间一已知点P(x,y,z)作平面的垂线,显然,垂线的方向就是平面的法向 量m(A,B,C)。取平面上一定点P(x0,y,=0),联 结P与P,则P(x,y,z)到平面的距离d就是PP 在n方向的投影长度(见图626)。记平面的单位 法向量 由内积的定义,得 图626 d=PP·no|,(A1 x  B1 y C1 z  D1 )  (A2 x  B2 y C2 z  D2 )  0 表示一张平面   。显然，满足 L 的一般方程的点 (x, y,z) 一定满足平面   的方 程，所以平面   通过直线 L 。于是，对于不同的不同时为零的数对 ,  ， (A1 x  B1 y C1 z  D1 )  (A2 x  B2 y C2 z  D2 )  0 就确定了一族通过 L 的平面，它称为通过 L 的平面的平面束，以上方程也称为通 过 L 的平面束方程。 显然确定平面束中一张平面，只要确定  与  的比值，因此也常将通过 L 的 平面束方程写成 A1 x  B1 y C1 z  D1  k(A2 x  B2 y C2 z  D2 )  0 （注意这个束中不包含平面 A2 x  B2 y C2 z  D2  0 ），或 k(A1 x  B1 y C1 z  D1 )  A2 x  B2 y C2 z  D2  0 （注意这个束中不包含平面 A1 x  B1 y C1 z  D1  0 ）。 另外，方程 Ax  By Cz    0 确定一张平面   ，而当  取不同值时，就得到一族相互平行的平面的方程。因 此上式也称为平行平面束方程。 例 6.2.7 过点 (1,1,1) 和直线 L ：            2 3 5 0 3 2 2 0, x y z x y z 的平面方程。 解 设所求通过 L 的平面方程为 3x  y  2z  2  k(x  2y  3z 5)  0。 它通过 (1,1,1) 点,所以将该点的坐标代入上式得 6  3k  0。 所以 k  2 。于是，所求的平面方程为 3x  y  2z  2  2(x  2y  3z 5)  0， 即 5x 5y 8z 8  0。 四．点到平面、直线的距离 平面解析几何中讨论了某一平面上的点到直线的距离问题，现在我们将它推 广到空间。 先考虑点到平面的距离。设平面方程为 Ax  By Cz  D  0。 过空间一已知点 ( , , z ) * * * P x y 作平面的垂线， 显然，垂线的方向就是平面的法向 量 n(A, B, C) 。取平面上一定点 P0 ( 0 0 0 x , y , z )，联 结 P 与 P0 ，则 ( , , z ) * * * P x y 到平面的距离 d 就是 P0P 在 n 方向的投影长度（见图 6.2.6）。记平面的单位 法向量 || || 0 n n n  ， 由内积的定义，得 | | 0 n0 d  P P ， n P d P0 图 6.2.6