AxB=(AxR)∩(R×B)=p(4)⌒p2(B)∈B(R2) 故c(R2)于是Z(R)×B(R)=G()c(R2).因此 (R)×B(R)=B(R2).由乘积测度的定义容易知道在R上m1xm1=m2由22定 理6知道在a(R)上m1xm=m2即在B(R2)上面m1xm1=m2 定理9两个一维 Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue测度空间,即 (RXR, Mxm, m, xm,=(R,M(R), m2) 证明仍设,R,m1和m2如定理8.由定理8 (R×R,B(R)×B(R),m1xm1)=(R2,B(R2).,m2) 此即 (R×R,a(R),m1xm)=(R2,(R),m2) 由$22定理15,(R×R,m,mxm1)和(R2,M(R2),m2)分别是 (R×R,a(),m1xm1)和(R2,a(R),m2)的完备化空间因此(8)成立 推论10设∫是R2上的非负L可测函数或L可积函数则成立 ∫d=J厂/=厂厂h 特别地当厂小<+∞或者厂nd厂M<+∞时,成立 dyl, fe fdy (我们将R2上的L积分记为, foxy.) 证明将定理6和推论7应用到乘积空间(RxR, M,m1Xm1)上,并利用定理9 即得.■ 显然,对R”与R”的乘积空间Rq的情形成立与推论10类似的结果 例2计算I (e-e )dx(0<a<b) 解我们有 d dh 由 广小"”sm三广的广””h=的=h 由Fubn定理(推论7),我们有 dxle-msin xdy=d) y sin xdx I+ydy=actg b-arctga124 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 2 1 1 1 1 × = × R ∩ R × = ∩ ∈B R − − A B A B p A p B 故 R′ ⊂ ( ). 2 B R 于 是 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R σ (R′) ⊂ ( ). 2 B R 因 此 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R . 由乘积测度的定义容易知道在R 上 . m1 × m1 = m2 由§2.2 定 理 6 知道在σ (R ) 上 . m1 × m1 = m2 即在 ( ) 2 B R 上面 . m1 × m1 = m2 ■ 定理 9 两个一维 Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue 测度空间, 即 ( × , × , 1 × 1 ) = 1 1 m m Mmi mi R R ( , ( ), ). 2 2 2 R M R m (8) 证明 仍设R , R′ , m1和 m2如定理 8. 由定理 8, ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 此即 ( × , ( ′), 1 × 1 ) = 1 1 R R σ R m m ( , ( ), ). 2 2 R σ R m 由 §2.2 定 理 15, ( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 和 ( , ( ), ) 2 2 2 R M R m 分别是 ( , ( ), ) 1 1 1 1 R × R σ R ′ m × m 和( , ( ), ) 2 2 R σ R m 的完备化空间. 因此(8)成立.■ 推论 10 设 f 是 2 R 上的非负 L 可测函数或 L 可积函数.则成立 2 R ∫ f dxdy = dy f dx ∫R R 1 1 ∫ = dx f dy. ∫R R 1 1 ∫ 特别地, 当 ∫ ∫ 1 1 dy f dx < +∞ R R 或者 ∫ 1 1 dx f dy ∫ < +∞ R R 时, 成立 dy f dx ∫ ∫ 1 1 R R = dx f dy. ∫R R 1 1 ∫ (我们将 2 R 上的 L 积分记为 2 . R f dxdy ∫ ) 证明 将定理 6 和推论 7 应用到乘积空间( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 上, 并利用定理 9 即得. ■ 显然, 对 p R 与 q R 的乘积空间 p+q R 的情形,成立与推论 10 类似的结果. 例 2 计算 0 sin ( ) (0 ). x ax bx I e e dx a b x +∞ − − = − << ∫ 解 我们有 0 0 sin ( ) sin . b ax bx xy a x e e dx dx e xdy x +∞ +∞ −− − ∫ ∫∫ − = 由 于 0 0 1 sin ln . b bb xy xy a aa b dy e x dx dy e dx dy y a +∞ +∞ − − ∫∫ ∫∫ ∫ ≤ = = < +∞ 由 Fubini 定理(推论 7), 我们有 0 0 2 sin sin 1 arctg arctg . 1 b b xy xy a a b a I dx e xdy dy e xdx dy b a y +∞ +∞ − − = = = =− + ∫ ∫ ∫∫ ∫