即∫可积.再由 Fubini定理即知(7)成立.■ 注2在Fbi定理中,若f(x,y)是可积的则由于I(x)=f(x,y)dv是关于4可 积的因此函数(x)几乎处处有限.这表明对几乎所有x∈X,f(y)=f(x,y)是关于v 可积的同理,对几乎所有y∈Y,函数f,(x)=f(x,y)是关于可积的 注3在 Fubini定理中,若去掉(X,A,)和(Y,,v)是完备的这个条件,则当∫是 (X×,n×,μv)上的非负可测函数或可积函数时,定理的结论仍成立.其证明与定理 6的证明是类似的.只是此时不用定理5而直接引用定理3就可以了 例1设(X,A,)是一个σ-有限的测度空间,∫是X上的非负可测函数 1≤p<+∞.则 +∞ fdu=p t-u((r: f(x)>t)dt 证明令E={(x,D):f(x)>1≥0},则E1={x:f(x)>l}.显然∫(x)-t是乘积空 间(X×R,T×M(R,xm)上的可测函数 故 E={(x,1):f(x)-t>0}∈x.(R).因此函数l(x)=2(x,1)是关于T×M(R) 可测的.由 Fubini定理我们有 ∫ f(xr"du= s pr-d ∫d。p-=(x)t ∫。p- (xdu ir f(r)n, (r +00 pr-u(x: f(x)>I))dr 下面我们将本节的结果用到R”上的 Lebesgue积分上去 定理8设(R)和B(R2)分别是R和R2上的 borel o-代数,m1和m2分别是R和 R2上的 Lebesgue测度,则f(R)xB(R)=(R2)并且在B(R2)上m1xm1=m2即 (R×R,B(R)xf(R),m1xm)=(R2,(R2),m2) 证明设R是R2中的左开右闭方体的全体生成的环,是由R2中的 Lebesgue可测 矩形的全体生成的环则σ()=(R2),(R)=(R)×B(R).由于cR,故 (R2)=a()co(R)=(R)×B(R) 反过来,令P1和p2是R2到R的投影函数,即p1(x,y)=x,P2(x,y)=y.则P1和p2 都是连续的,因而是R2上的Boel可测函数由§3.1定理2,若A,B∈(R),则 p(4)∈(R2),p(B)∈B(R2).于是 123123 即 f 可积. 再由 Fubini 定理即知(7)成立. ■ 注 2 在 Fubini 定理中, 若 f (x, y) 是可积的. 则由于 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是关于 µ 可 积的. 因此函数 I(x) 几乎处处有限. 这表明对几乎所有 x ∈ X , f ( y) f (x, y) x = 是关于ν 可积的. 同理, 对几乎所有 y ∈Y, 函数 f (x) f (x, y) y = 是关于 µ 可积的. 注 3 在 Fubini 定理中, 若去掉(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是完备的这个条件, 则当 f 是 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理 6 的证明是类似的. 只是此时不用定理 5 而直接引用定理.3 就可以了. 例 1 设 (X, A,µ) 是一个 σ − 有限的测度空间, f 是 X 上的非负可测函数, 1 ≤ p < +∞. 则 1 0 ({ : ( ) }) . p p f d p t x f x t dt µ µ +∞ − ∫ ∫ = > 证明 令 E = {(x,t) : f (x) > t ≥ 0}, 则 E {x : f (x) t}. t = > 显然 f (x) − t 是乘积空 间 ( , ( ), ) 1 1 X × R F ×M R µ × m 上的可测函数 , 故 E = {(x,t) : f (x) − t > 0}∈ ( ) 1 F ×M R . 因此函数 I (x) I (x,t) Et = E 是关于 ( ) 1 F ×M R 可测的. 由 Fubini 定理我们有 ( ) 1 0 1 {: ( ) } 0 1 {: ( ) } 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ({ : ( ) }) . f x p p X X p xf x t X p xf x t X p f x d d pt dt d pt I x dt pt dt I x d pt x f x t dt µ µ µ µ µ − +∞ − > +∞ − > +∞ − = = = = > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ■ 下面我们将本节的结果用到 n R 上的 Lebesgue 积分上去. 定理8 设 ( ) 1 B R 和 ( ) 2 B R 分别是 1 R 和 2 R 上的Borelσ -代数, m1和m2分别是 1 R 和 2 R 上的 Lebesgue 测度. 则 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R 并且在 ( ) 2 B R 上 . m1 × m1 = m2 即 ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 证明 设R 是 2 R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′ 是由 2 R 中的 Lebesgue 可测 矩形的全体生成的环. 则σ (R ) = ( ), 2 B R σ (R ′) = ( )× 1 B R ( ). 1 B R 由于R ⊂ R ′ , 故 ( ) = 2 B R σ (R ) ⊂ σ (R′) = ( )× 1 B R ( ). 1 B R 反过来, 令 1 p 和 2 p 是 2 R 到 1 R 的投影函数, 即 ( , ) , . 1 p x y = x p (x, y) = y 2 . 则 1 p 和 2 p 都是连续的, 因而是 2 R 上的 Borel 可测函数. 由§3.1 定理 2, 若 A, ) B ∈ ( 1 B R , 则 ∈ − ( ) 1 p1 A ( ) 2 B R , ∈ − ( ) 1 p2 B ( ). 2 B R 于是