由定理5(i),V(E2)是X上的可测函数.并且 IEduXV=(UXv()=v(E)du lEddy XxI 这表明当∫是特征函数时,(x)=)f(x,y)dv是x上的非负可测函数并且6)成立由 积分的线性性质知道,当∫是非负简单函数时,I(x)是X上的非负可测函数并且(6)成立 一般情形,设∫是非负可测函数则存在非负简单函数列{n}使得∫n↑f.由上面的证明 ∫ n(x)=∫f(x,y)d是X上的非负可测函数,由单调收敛定理得到 f(x,y)dhv1/f(x,y)dh.因此/(x)是X上的非负可测函数.再对函数列{n}应用 单调收敛定理,我们有 ∫。Jdxv= lim/,,duxv=mJ(y1=J(Jm 即(6)成立.因此()得证 (i).由对称性,我们只需证明(x)是关于可积的,并且(6)成立,由(1)的结论 f+(x,y)如和f(xy)dv是X上的非负可测函数因此/(x)是X上的可测函数 对∫和∫分别运用(6),我们有 fd×v f+duxv- fdv du fdv du fraU 注意由于∫是关于4Xv可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允许 的这就证明了I(x)是关于可积的,并且(6成立■ 推论7设(X,4,4)和(H,B,v)是两个完备的a-有限的测度空间,∫是 (X×y,,y×v)上的可测函数.若 ∫,arJ,d<+或J,duJ<+ 则∫可积并且成立 ∫ faux=JadJ,m=JdJa (7) 证明设jdJd<+∞.由Fm定理,我们有 ∫,M/dxy=Jam厂dx+122 由定理 5 (ii) , ( ) ν Ex 是 X 上的可测函数. 并且 I dµ ν (µ ν )(E) ν (E )dµ ( I dν ).dµ. X Y E X x X Y ∫ E ∫ ∫ ∫ × = × = = × 这表明当 f 是特征函数时, () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当 f 是非负简单函数时, I(x) 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设 f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列{ }n f 使得 f f . n ↑ 由上面的证明, () (, ) n n Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数 . 由单调收敛定理得到 (, ) (, ) . n Y Y f xyd f xyd ν ↑ ν ∫ ∫ 因此 I(x) 是 X 上的非负可测函数. 再对函数列{ }n I 应用 单调收敛定理, 我们有 lim lim . n n ( ) () XY XY X Y X Y n n f d f d f d d fd d µ ν µν ν µ ν µ × × →∞ →∞ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ×= ×= = 即(6)成立. 因此(i) 得证. (ii). 由对称性, 我们只需证明 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 由 (i) 的结论, (, ) Y f xydν + ∫ 和 (, ) Y f xydν − ∫ 是 X 上的非负可测函数. 因此 I(x) 是 X 上的可测函数. 对 + f 和 − f 分别运用(6), 我们有 ( )( ) ( ) . XY XY XY XY XY X Y fd f d f d f d d fd d fd d µν µν µν ν µ νµ ν µ + − ×× × + − ×= ×− × = − = ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 注意由于 f 是关于 µ ×ν 可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许 的. 这就证明了 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立.■ 推 论 7 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的 σ − 有限的测度空间 , f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数. 若 Y X ∫ d fd ν µ ∫ < +∞ 或 , X Y ∫ d fd µ ν ∫ < +∞ 则 f 可积并且成立 X Y f dµ ν × ∫ × = X Y d fd µ ν ∫ ∫ = . Y X d fd ν µ ∫ ∫ (7) 证明 设 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ . 由 Fubini 定理, 我们有 X Y f dµ ν × ∫ × = . Y X ∫ d fd ν µ ∫ < +∞