4关于是完备的,并且 v(E)=v(F2)-v(Nx2)=v(F2) 故E)是.星可测的(参见第三章习题第7题)注意到(×v)(N)=0,由定理3(i) IX v)())=(uxv(F)=VF) dv=MEr 即(4)成立.因此(i)得证.由于对任意实数a,{(x,y):f(x,y)<a}∈.于是由结论 (i),对几乎所有x∈X,我们有 y∈Y:f(x,y)<a}={(x,y):f(x,y)<a}x∈ 即f(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数.因此(i)得证■ 由对称性关于E,和(E)成立类似于定理3引理4和定理5的结果 设(X,A,)和(H,,v)是两个测度空间,f(x,y)是XxY上的可测函数.若对几乎 所有固定的x∈X,f(x,y)在Y上的积分存在记g(x)=f(x,y)dv.(g(x)可能在 个-零测度集上没有定义,在这个零测度集上令g(x)=0).若g(x)是X上的可测函数 并且在X上的积分存在,则称f的二次积分存在,并且称JxMm为f的二次积分记 为 hp或J,du,v.类似可以定义另一个顺序的二次积分/,aJ,f 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理.这 是本节最主要的结果 定理6( Fubini理)设(X,H,)和(Y,,)是两个完备的a-有限的测度空间.则 ()若∫是(XxxY,Mmx,×V)上的非负可测函数,则I(x)=,f(x,y)dv和 J(y)=|f(x,y)d分别是x和Y上的非负可测函数并且成立 ∫,nd×=J(k=-.(0m ()若厂是(x×y,MCm,xn上的可积函数,则1()=J,(xy)b和 J(0)=J,f(x,y)d分别是关于u和v可积的并且(5)成立 证明()由对称性,只需证明(x)=「f(x,y)是X上的非负可测函数,并且 fd×v fdv du XxI 先设∫=lE是特征函数,其中E∈由定理5(),对几乎所有x∈X,E∈罗.于是 IE(x,y)dv=LIE (y)dv=v(E,).H-ae 121121 A 关于 µ 是完备的, 并且 ( ) ( ) ( ) ( ), a.e. ν Ex =ν Fx −ν Nx =ν Fx 故 ( ) ν Ex 是 A 可测的(参见第三章习题第 7 题). 注意到(µ ×ν )(N) = 0, 由定理 3 (ii) , ∫ ∫ ( × )( )) = ( × )( ) = ( ) = ( ). µ ν E µ ν F ν Fx dν ν Ex 即(4)成立. 因此 (ii) 得证. 由于对任意实数 a, {(x, y) : f (x, y) < a}∈ Mµ×ν .于是由结论 (i), 对几乎所有 x ∈ X , 我们有 {y ∈Y : f (x, y) < a} = {(x, y) : f (x, y) < a}x ∈ B. 即 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 因此(iii) 得证.■ 由对称性,关于 Ey 和 (( ) µ Ey 成立类似于定理 3,引理 4 和定理 5 的结果. 设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个测度空间, f (x, y) 是 X ×Y 上的可测函数. 若对几乎 所有固定的 x ∈ X , f (x, y) 在Y 上的积分存在. 记 () (, ) . Y gx f xyd = ν ∫ ( g(x) 可能在 一个 µ − 零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令 g(x) =0). 若 g(x) 是 X 上的可测函数 并且在 X 上的积分存在, 则称 f 的二次积分存在, 并且称 ( ) X g xdµ ∫ 为 f 的二次积分,记 为 ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ 或 . X Y d fd µ ν ∫ ∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分 . Y X d fd ν µ ∫ ∫ 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果 定理 6 (Fubini 理)设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间. 则 (i). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的非负可测函数, 则 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 和 () (, ) X J y f xyd = µ ∫ 分别是 X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立 X Y f dµ ν × ∫ × = ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ = ( ) . Y X fd d µ ν ∫ ∫ (5) (ii). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可积函数 , 则 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 和 () (, ) X J y f xyd = µ ∫ 分别是关于 µ 和ν 可积的. 并且(5)成立. 证明 (i).由对称性, 只需证明 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数, 并且 X Y f dµ ν × ∫ × = ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ (6) 先设 E f = I 是特征函数, 其中 E ∈Mµ×ν . 由定理5 (i), 对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B. 于是 ( , ) ( ) ( ). E Ex x Y Y ∫ I xyd I yd E ν νν = = ∫ µ − a.e