则是非负值集函数并且m()=0.设{En}是×中的一列互不相交的集.则由单调 收敛定理得到 A(UEn=V(UEndu=v(U(E,))due u(En)M=∑(En 即是可数可加的.故λ是.A×B上的测度.若E=A×B是一个可测矩形,则 a(E)=V(E, du=]VB)(x)du =A()v(B)=(uXv)E 故在C上A=×V.测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环上A=4Xv.由于和v 都是σ一有限的,容易知道A和Xv也是a-有限的(参见习题).由§2,2定理6知道在 4×上A=xV.这表明对任意E∈A×,(3)式成立■ 注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义A×上的乘积测度4Xv,这样定义的 xv与我们前面定义的上的乘积测度XV在.×2上是一致的.但是这样得到的 乘积测度空间(X×Y,A×,4xV)一般说来不是完备的.本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(XxY,m,xv),这样就避免了对 (X×Y,n×,4×v)再进行完备化的讨论 引理4设(X,H,)和(Y,Bv)是两个完备的测度空间,若E∈.,并且 (×v)(E)=0.则对几乎所有x∈X,E2∈B并且v(E)=0ae, 证明由§22定理11,存在F∈o()=4×劣,使得F→E并且 (×v)(F)=(×v)(E)=0 定理3(i)蕴涵W(F)=0ae.由于关于v是完备的,因此由ExFx得到 Ex∈罗,ae.并且v(E)=0ae.■ 定理5设(X,,)和(Y,2,v是两个完备的-有限的测度空间,E∈.MYmy,则 ().则对几乎所有x∈X,必有E,∈罗 (i).v(E2)是(X,A,)上的可测函数并且成立等式 (AXv(E)=ME, du (i)若f(x,y)是(X×y,y,xv)上的可测函数,则对几乎所有x∈X,函数 f2(y)=f(x,y)是(Y,,v上的可测函数 证明设E∈m·由§22定理13,存在F∈4×3和N∈ v(N)=0,使得E=F-N.由引理4,Nx∈,ae.并且(N)=0ae.再利用定 理3,我们有E2=Fx-Nx∈B,ae.因此()得证.由定理3,wF2)是可测的.由于120 则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设{ } En 是 A ×B 中的一列互不相交的集. 则由单调 收敛定理得到 (( ) ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 ∫∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = = n n n n x n x n x n n n n E d E E E d E d ν µ λ λ ∪ ν ∪ µ ν ∪ µ 即λ 是可数可加的. 故λ 是 A ×B 上的测度. 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E) (E )d (B)I (x)d . (A) (B) ( )(E). λ = ν x µ = ν A µ = µ ⋅ν = µ ×ν ∫ ∫ 故在C 上λ = µ ×ν. 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上λ = µ ×ν. 由于 µ 和ν 都是σ − 有限的, 容易知道 λ 和 µ ×ν 也是σ − 有限的(参见习题). 由§2.2 定理 6 知道在 A ×B 上λ = µ ×ν. 这表明对任意 E ∈ A ×B, (3)式成立.■ 注 1 由定理 3, 我们也可以用(3)式来定义 A ×B 上的乘积测度 µ ×ν , 这样定义的 µ ×ν 与我们前面定义的Mµ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A ×B 上是一致的. 但是这样得到的 乘积测度空间 (X ×Y,A ×B,µ ×ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × , 这样就避免了对 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )再进行完备化的讨论. 引 理 4 设 (X, A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的测度空间 , 若 E ∈ Mµ×ν 并 且 (µ ×ν )(E) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B 并且 ( ) = 0 a.e., ν Ex 证明 由§2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) = A ×B, 使得 F ⊃ E 并且 (µ ×ν )(F) = (µ ×ν )(E) = 0. 定 理 3 (ii) 蕴 涵 ( ) = 0 a.e. ν Fx 由 于 B 关 于 ν 是完备的 , 因此由 Ex ⊂ Fx 得 到 Ex ∈B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Ex .■ 定理 5 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间, E ∈Mµ×ν . 则 (i).则对几乎所有 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (4) (iii).若 f (x, y) 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数, 则对几乎所有 x ∈ X , 函数 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 证 明 设 E ∈ Mµ×ν . 由 §2.2 定 理 13, 存 在 F ∈ A ×B 和 N ∈ Mµ×ν , (µ ×ν )(N) = 0,使得 E = F − N. 由引理 4, Nx ∈ B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Nx 再利用定 理 3, 我们有 Ex = Fx − Nx ∈ B, a.e. 因此 (i) 得证. 由定理 3, ( ) ν Fx 是 A 可测的. 由于