证明(i).设C是可测矩形的全体.令 ={E∈×:对任意x∈X,E∈h 若E=AXB∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,Ex=②.故对任意 x∈X,E∈.因此Cc.利用截口的性质容易证明是一个-代数.因此得到 ×=o(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈B (i)先设v(Y)<+∞.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有Ex∈B.故函数 v(E)有意义令 分={E∈h×:(E)是可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则以E)=v(B)A(x)是可测的.这表明Cc.往证 分是一个类.显然X×Y∈.设E,F∈并且EF.注意到v(F2)≤v(Y)<+∞ 我们有 V(E-F=vEr-F=VEn-V(F) 故W(E-F2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设{En}c界 并且En个.则(En)2个.于是有 v(UE))=En),)=im(E,),) 由上式看出以(UEn))是4可测的因此∪En∈,即对单调增加的集列的并运算 封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 4×=(C)c 即对任意E∈H×B,以(E2)是可测的.若v()=+∞.由于(,,v是a-有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(H)<+并且Y=UF,对每个 n≥1,在罗上定义测度 vn(B)=v(B∩n),B∈豸 则v(Y)=(n)<+∞.设E∈×罗.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测的 我们有 v(E2)=(U(E,n)=∑v(E2∩n)=∑vn(E2) 由此可见v(E2)是可测的 在.A×罗上定义集函数A如下 A(E)=[v(E,)du,E∈nxB119 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈ C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明 F 是一个 σ -代数. 因此得到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往证 F 是一个λ 类. 显然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设{En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = ∪ = ∪ = 由上式看出 (( ) ) 1 x n ∪En ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = ∪ n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运算 封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由§1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于 (Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 1 . n n Y Y ∞ = = ∪ 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν ∪ Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下: = ∈ ∫ λ(E) ν (Ex )dµ, E A ×B